Se f(x)=2+\sqrt[3]{x+2} encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x=7.

Passo 1

O enunciado apresenta a função f(x)=2+\sqrt[3]{x+2} e pede a inclinação da reta tangente no ponto x=7. Para isso, vamos usar a derivada de uma função do tipo (x+2)^{1/3} e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Derivando f em relação a x, a soma de constantes desaparece e resta derivar (x+2)^{1/3}. Usando a fórmula da derivada de potência e a cadeia, obtemos
f'(x)=\frac{1}{3}(x+2)^{-2/3}.

Passo 3

Para encontrar a inclinação no ponto x=7, substituímos x=7 em f'(x):
f'(7)=\frac{1}{3}\,(7+2)^{-2/3}=\frac{1}{3}\cdot 9^{-2/3}.

Passo 4

Escrevendo 9^{-2/3} em forma de raiz, temos
9^{-2/3}=\frac{1}{9^{2/3}}=\frac{1}{\bigl(\sqrt[3]{9}\bigr)^{2}}.
Logo,
f'(7)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\bigl(\sqrt[3]{9}\bigr)^{2}} =\frac{1}{3\,(\sqrt[3]{9})^{2}}.

Passo 5

Se quisermos expressar em termos de \sqrt[3]{3}, note que \sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{3^2}= (\sqrt[3]{3})^2. Assim,
f'(7)=\frac{1}{3\,(\sqrt[3]{3})^{2}\cdot(\sqrt[3]{3})^{0}} =\frac{1}{3\,(\sqrt[3]{3^2})} =\frac{1}{9\sqrt[3]{3}}.
Outra forma equivalente é
f'(7)=\frac{\sqrt[3]{9}}{27}.

Resposta

A inclinação da reta tangente ao gráfico de f em x=7 é
\frac{1}{9\sqrt[3]{3}}.

Exercícios relacionados