Calcule as derivadas das seguintes funções.
l) f(x) = cos(3x) / (1 + tg(3x))

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com derivadas de funções que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente e conhecer as derivadas das funções trigonométricas básicas como seno, cosseno e tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a regra do quociente. Se tivermos uma função , a derivada dela é dada por:
Então, para nossa função , vamos identificar e .

Passo 3

Vamos calcular . Sabemos que a derivada de é . Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular . Primeiro, a derivada de 1 é 0, e a derivada de é . Então,

Passo 5

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do quociente:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Lembrando que , mas para simplificar, podemos fatorar o -3:

Passo 7

Podemos simplificar mais utilizando identidades trigonométricas, mas para manter a resposta clara, vamos deixar a derivada nessa forma simplificada:

Resposta

A derivada da função é:

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