w=x y^4-2 x^2 y^3+4 x^2-3 y
partial^2 wpartial x partial y=partial^2 wpartial y partial x=4 y^3-12 x y^2

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. O enunciado nos dá uma função e pede para calcular a derivada parcial de segunda ordem, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar as regras básicas de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de w = x y^4 - 2 x^2 y^3 + 4 x^2 - 3 y em relação a partial wpartial y = 4x y^3 - 6 x^2 y^2 - 3 , mantendo constante. Isso significa que tratamos como uma constante ao derivar com respeito a .
A função é:
Derivando termo a termo em relação a :
  • A derivada de em relação a é (usamos a regra da potência).
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é 0, pois não há nesse termo.
  • A derivada de em relação a é .
Então, a primeira derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial dessa expressão em relação a partial^2 wpartial x partial y = 4 y^3 - 12 x y^2 . Isso nos dará a derivada parcial mista .
Derivando em relação a :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é 0, pois é uma constante.
Então, a segunda derivada parcial é:

Resposta

A derivada parcial de segunda ordem é igual a .

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