Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. O enunciado nos dá uma função
e pede para calcular a derivada parcial de segunda ordem, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar as regras básicas de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, mantendo
constante. Isso significa que tratamos
como uma constante ao derivar com respeito a
.
A função é:
Derivando termo a termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é (usamos a regra da potência). - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é 0, pois não há nesse termo. - A derivada de
em relação a é .
Então, a primeira derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial dessa expressão em relação a
. Isso nos dará a derivada parcial mista
.
Derivando
em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é 0, pois é uma constante.
Então, a segunda derivada parcial é:
Resposta
A derivada parcial de segunda ordem
é igual a
.