Calcule a integral
onde:
e
é o conjunto de todos os pontos
tais que
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla onde a função é
. Estamos trabalhando com cálculo multivariável, mais especificamente com integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar definir os limites de integração para cada variável
,
e
conforme descrito no conjunto
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de cada variável:
-
varia de 0 a 1. - Para cada valor de
, varia de 0 até . - E para cada par
, varia de 0 até .
Então, nossos limites de integração ficam assim:
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral tripla usando esses limites:
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a
. A função
não depende de
, então a integral fica simples:
Passo 5
Substituímos o resultado na integral dupla:
Passo 6
Vamos agora integrar em relação a
:
Calculando os valores nos limites:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral simples:
Passo 8
Integrando em relação a
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.