Calcule a integral integral triplaB f(x, y) d x d y onde: f(x, y, z)=x e B é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) tais que 0 <= x <= 1, 0 <= y <= x e 0 <= z <= x+y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla onde a função é . Estamos trabalhando com cálculo multivariável, mais especificamente com integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar definir os limites de integração para cada variável , e conforme descrito no conjunto .

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de cada variável:
  • 0 <= x <= 1, 0 <= y <= x, 0 <= z <= x + y varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de , varia de 0 até .
  • E para cada par , varia de 0 até .
Então, nossos limites de integração ficam assim:

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral tripla usando esses limites:
integral triplaB f(x, y, z) , dz , dy , dx = integral0^1 integral0^x integral0^x + y x , dz , dy , dx

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a integral0^x + y x , dz = x cdot (x + y - 0) = x(x + y) . A função não depende de , então a integral fica simples:

Passo 5

Substituímos o resultado na integral dupla:
integral0^1 integral0^x x(x + y) , dy , dx

Passo 6

Vamos agora integrar em relação a integral0^x x(x + y) , dy = x integral0^x (x + y) , dy = x [ x y + y^22 ]0^x :
x [ x cdot x + x^22 - (0 + 0) ] = x ( x^2 + x^22 ) = x cdot 3x^22 = 3x^32
Calculando os valores nos limites:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral simples:
integral0^1 3x^32 , dx

Passo 8

Integrando em relação a 32 integral0^1 x^3 , dx = 32 [ x^44 ]0^1 = 32 cdot 14 = 38 :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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