Calcule as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de derivadas. O enunciado pede para calcular a derivada da função
. Aqui, estamos trabalhando com Logaritmos e Funções Trigonométricas, e vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar essa função composta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para derivar um logaritmo com base diferente de
, podemos usar a mudança de base. A fórmula para isso é:
Então, podemos reescrever a função dada como:
Passo 3
Agora, vamos derivar a função usando a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é:
Onde
. Então, primeiro encontramos a derivada de
.
Passo 4
A derivada de
em relação a
é:
Isso porque a derivada de
é
, onde
é uma constante.
Passo 5
Agora, aplicamos a regra da cadeia na nossa função original:
Simplificando, temos:
Resposta
A derivada da função
é: