Calcule as derivadas das seguintes funções: log_2(sen(2x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de derivadas. O enunciado pede para calcular a derivada da função log_2(sen(2x)). Aqui, estamos trabalhando com Logaritmos e Funções Trigonométricas, e vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar essa função composta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para derivar um logaritmo com base diferente de e, podemos usar a mudança de base. A fórmula para isso é:
Então, podemos reescrever a função dada como:

Passo 3

Agora, vamos derivar a função usando a regra da cadeia. A derivada de em relação a x é:
Onde . Então, primeiro encontramos a derivada de .

Passo 4

A derivada de em relação a x é:
Isso porque a derivada de é , onde k é uma constante.

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia na nossa função original:
Simplificando, temos:

Resposta

A derivada da função log_2(sen(2x)) é:

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