Encontrar o vetor tangente unitário às seguintes curvas, nos pontos indicados:
a) r(t) = (t cos(2t), t sen(2t)), t ∈ [0, ∞); t = pi/2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por uma função vetorial para t ≥ 0. Queremos encontrar o vetor tangente unitário a essa curva no ponto correspondente a . Para fazer isso, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial para encontrar o vetor tangente e depois normalizá-lo para obter o vetor tangente unitário.

Passo 2

O vetor tangente a uma curva em um ponto específico é dado pela derivada da função vetorial em relação a t. Vamos calcular .
A função é . Calculando a derivada de cada componente:
Usando a regra do produto para derivação:
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto .
Substituindo nas componentes:
Sabendo que e , temos:
Então,

Passo 4

Para encontrar o vetor tangente unitário, precisamos normalizar o vetor tangente que encontramos. Primeiro, calculamos o comprimento (ou módulo) de .
O comprimento de um vetor (a, b) é dado por:
Aplicando isso:

Passo 5

Finalmente, o vetor tangente unitário T é obtido dividindo cada componente do vetor tangente pela sua magnitude.

Resposta

O vetor tangente unitário à curva no ponto onde é:

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