Encontrar o vetor tangente unitário às seguintes curvas, nos pontos indicados:
a)
a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por uma função vetorial
para
. Queremos encontrar o vetor tangente unitário a essa curva no ponto correspondente a
. Para fazer isso, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial para encontrar o vetor tangente e depois normalizá-lo para obter o vetor tangente unitário.
Passo 2
O vetor tangente a uma curva em um ponto específico é dado pela derivada da função vetorial em relação a
. Vamos calcular
.
A função é
. Calculando a derivada de cada componente:
Usando a regra do produto para derivação:
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos avaliar a derivada no ponto
.
Substituindo
nas componentes:
Sabendo que
e
, temos:
Então,
Passo 4
Para encontrar o vetor tangente unitário, precisamos normalizar o vetor tangente que encontramos. Primeiro, calculamos o comprimento (ou módulo) de
.
O comprimento de um vetor
é dado por:
Aplicando isso:
Passo 5
Finalmente, o vetor tangente unitário
é obtido dividindo cada componente do vetor tangente pela sua magnitude.
Resposta
O vetor tangente unitário à curva no ponto onde
é: