Mostre que a função
é contínua no 0 mas não é derivável no 0.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por:
Queremos mostrar que essa função é contínua em
mas não é derivável nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e derivabilidade de uma função em um ponto.
Passo 2
Vamos começar verificando a continuidade em
. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando
se aproxima desse ponto for igual ao valor da função naquele ponto. Ou seja, precisamos verificar se:
Sabemos que
, então vamos calcular o limite.
Passo 3
Calculando o limite:
Sabemos que
está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os termos por
, que tende a 0 quando
tende a 0:
Passo 4
Aplicando o Teorema do Sanduíche (ou Teorema das Cordas), já que
tende a 0 quando
tende a 0, concluímos que:
Portanto:
Isso mostra que
é contínua em
.
Passo 5
Agora, vamos verificar a derivabilidade em
. A derivada de
em 0 é definida por:
Substituindo
:
Passo 6
Vamos analisar o limite
.
Sabemos que
está entre -1 e 1:
Multiplicando por
, que tende ao infinito quando
tende a 0, obtemos:
Mas
cresce sem limite quando
se aproxima de 0, tanto positivamente quanto negativamente, fazendo com que o limite não exista.
Resposta
Portanto, a função
é contínua em
mas não é derivável nesse ponto.