Mostre que a função
f(x) = { x^(1/3) sen(1/x) se x ≠ 0; 0 se x = 0 }
é contínua no 0 mas não é derivável no 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por:
Queremos mostrar que essa função é contínua em mas não é derivável nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e derivabilidade de uma função em um ponto.

Passo 2

Vamos começar verificando a continuidade em . Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função naquele ponto. Ou seja, precisamos verificar se:
Sabemos que , então vamos calcular o limite.

Passo 3

Calculando o limite:
Sabemos que está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os termos por , que tende a 0 quando tende a 0:

Passo 4

Aplicando o Teorema do Sanduíche (ou Teorema das Cordas), já que tende a 0 quando tende a 0, concluímos que:
Portanto:
Isso mostra que é contínua em .

Passo 5

Agora, vamos verificar a derivabilidade em . A derivada de em 0 é definida por:
Substituindo :

Passo 6

Vamos analisar o limite .
Sabemos que está entre -1 e 1:
Multiplicando por , que tende ao infinito quando tende a 0, obtemos:
Mas cresce sem limite quando se aproxima de 0, tanto positivamente quanto negativamente, fazendo com que o limite não exista.

Resposta

Portanto, a função é contínua em mas não é derivável nesse ponto.

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