Determinar o vetor binormal das seguintes curvas, nos pontos indicados:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o vetor binormal da curva no ponto
. Isso faz parte da matéria de Geometria Diferencial, onde estudamos vetores como o tangente, normal e binormal de curvas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar calcular alguns vetores derivados da curva e entender como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o valor de
que corresponde ao ponto
. A curva é dada por:
Queremos que:
Dividindo ambos os lados por 3:
Sabemos que
quando
(e também a cada
, mas vamos usar
).
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor tangente
. Para isso, precisamos derivar
em relação a
:
No ponto
:
Agora, vamos normalizar esse vetor para obter
:
Então:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar o vetor normal
. O vetor normal é perpendicular ao vetor tangente e aponta na direção da curva. Para curvas planas, podemos obter
rotacionando
em 90 graus. Se
, então:
Então, no ponto
:
Passo 5
Agora, vamos determinar o vetor binormal
. O vetor binormal é perpendicular tanto ao vetor tangente quanto ao vetor normal. É calculado pelo produto vetorial:
Como estamos trabalhando em 2D, podemos considerar que os vetores estão no plano XY e o vetor binormal apontará na direção do eixo Z. Calculando o produto vetorial:
Resposta
O vetor binormal da curva no ponto
é
.