Determinar o vetor binormal das seguintes curvas, nos pontos indicados:
b) r(t) = (3 cos(t), 3 sen(t)), P0(3, 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o vetor binormal da curva no ponto . Isso faz parte da matéria de Geometria Diferencial, onde estudamos vetores como o tangente, normal e binormal de curvas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar calcular alguns vetores derivados da curva e entender como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de que corresponde ao ponto . A curva é dada por:
Queremos que:
Dividindo ambos os lados por 3:
Sabemos que quando (e também a cada , mas vamos usar ).

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor tangente . Para isso, precisamos derivar em relação a :
No ponto :
Agora, vamos normalizar esse vetor para obter :
Então:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar o vetor normal . O vetor normal é perpendicular ao vetor tangente e aponta na direção da curva. Para curvas planas, podemos obter rotacionando em 90 graus. Se , então:
Então, no ponto :

Passo 5

Agora, vamos determinar o vetor binormal . O vetor binormal é perpendicular tanto ao vetor tangente quanto ao vetor normal. É calculado pelo produto vetorial:
Como estamos trabalhando em 2D, podemos considerar que os vetores estão no plano XY e o vetor binormal apontará na direção do eixo Z. Calculando o produto vetorial:

Resposta

O vetor binormal da curva no ponto é .

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