Encontrar o vetor tangente unitário às seguintes curvas, nos pontos indicados:
f) r(t) = (e^t cos(t), e^t sen(t), 2) ; P0(1, 0, 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente unitário à curva dada no ponto . Isso faz parte do estudo de Cálculo Vetorial, onde aprendemos a analisar movimentos e curvas no espaço. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial que representa a curva e depois normalizar esse vetor para que tenha comprimento 1.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial em relação a . A derivada nos dá o vetor tangente à curva em qualquer ponto .
Dada a função:
A derivada é:
Vamos derivar cada componente:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Então:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto . Vamos igualar as componentes de a :
Da segunda equação , como nunca é zero, temos que . Isso ocorre quando .
Vamos verificar se satisfaz a primeira equação:
Então, é o valor que a gente precisa.

Passo 4

Com , vamos calcular :
Esse é o vetor tangente à curva no ponto , mas ainda não está normalizado.

Passo 5

Para encontrar o vetor tangente unitário, precisamos normalizar . Isso significa dividir o vetor pelo seu comprimento (magnitude).
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Agora, dividimos cada componente por :

Resposta

O vetor tangente unitário à curva no ponto é:

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