Encontrar o vetor tangente unitário às seguintes curvas, nos pontos indicados:
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente unitário à curva dada no ponto
. Isso faz parte do estudo de Cálculo Vetorial, onde aprendemos a analisar movimentos e curvas no espaço. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial que representa a curva e depois normalizar esse vetor para que tenha comprimento 1.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial
em relação a
. A derivada nos dá o vetor tangente à curva em qualquer ponto
.
Dada a função:
A derivada é:
Vamos derivar cada componente:
- Para
:
- Para :
- Para
:
Então:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor de
que corresponde ao ponto
. Vamos igualar as componentes de
a
:
Da segunda equação , como
nunca é zero, temos que . Isso ocorre quando
.
Vamos verificar se
satisfaz a primeira equação:
Então,
é o valor que a gente precisa.
Passo 4
Com
, vamos calcular
:
Esse é o vetor tangente à curva no ponto
, mas ainda não está normalizado.
Passo 5
Para encontrar o vetor tangente unitário, precisamos normalizar
. Isso significa dividir o vetor pelo seu comprimento (magnitude).
Primeiro, calculamos a magnitude de
:
Agora, dividimos cada componente por
:
Resposta
O vetor tangente unitário à curva no ponto
é: