Calcule as derivadas das seguintes funções.
(Resp.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função
. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, especificamente as regras de derivação de funções que são quocientes e produtos. Para resolver isso, vamos precisar da Regra do Quociente e da Regra do Produto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte de cima e a parte de baixo da fração na função
. A parte de cima é
e a parte de baixo é
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da Regra do Quociente, que diz que, se temos uma função que é o quociente de duas outras funções, ou seja,
, então a derivada dessa função é dada por:
Aqui,
e
.
Passo 4
Antes de aplicar a Regra do Quociente, vamos calcular
. Para isso, precisamos usar a Regra do Produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é:
No nosso caso,
e
.
Passo 5
Vamos derivar
:
E derivar
:
Aplicando a Regra do Produto:
Então,
.
Passo 6
Agora, vamos derivar
:
Passo 7
Com
e
calculados, vamos aplicar a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador passo a passo.
Passo 8
Primeiro, expanda
:
Então,
.
Passo 9
Agora, expanda
:
Então,
.
Passo 10
Agora, multiplicamos esse resultado por
:
Passo 11
Subtraindo as duas partes do numerador:
Passo 12
Agora, colocamos tudo de volta na fórmula da derivada:
Resposta
A derivada da função é: