Calcule as derivadas das seguintes funções.
f(x) = ((2*x-1)*(3*x+1))/(x^2-1)
(Resp. (x^2 - 10*x + 1) / ((x^2 - 1)^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, especificamente as regras de derivação de funções que são quocientes e produtos. Para resolver isso, vamos precisar da Regra do Quociente e da Regra do Produto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte de cima e a parte de baixo da fração na função . A parte de cima é e a parte de baixo é .

Passo 3

Agora, vamos lembrar da Regra do Quociente, que diz que, se temos uma função que é o quociente de duas outras funções, ou seja, , então a derivada dessa função é dada por:
Aqui, e .

Passo 4

Antes de aplicar a Regra do Quociente, vamos calcular . Para isso, precisamos usar a Regra do Produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é:
No nosso caso, e .

Passo 5

Vamos derivar :
E derivar :
Aplicando a Regra do Produto:
Então, .

Passo 6

Agora, vamos derivar :

Passo 7

Com e calculados, vamos aplicar a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador passo a passo.

Passo 8

Primeiro, expanda :
Então, .

Passo 9

Agora, expanda :
Então, .

Passo 10

Agora, multiplicamos esse resultado por :

Passo 11

Subtraindo as duas partes do numerador:

Passo 12

Agora, colocamos tudo de volta na fórmula da derivada:

Resposta

A derivada da função é:

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