Determine os pontos críticos da função dada.
f(x) = x^3 - 18 x^2 + 105 x - 19
Resp. {7,5}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função dada, que é . Ponto crítico é onde a derivada da função é zero ou não existe. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente o cálculo da derivada. Então, vamos precisar saber como derivar funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em qualquer ponto .
A função é:
Derivando cada termo:
  • A derivada de é (usamos a regra do poder: ).
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de uma constante ( ) é .
Então, a derivada fica:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, vamos resolver a equação onde a derivada é igual a zero:
Primeiro, podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 3:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática . Podemos fatorar a equação procurando dois números que multiplicados dão 35 e somados dão -12.
Esses números são -5 e -7, já que:
Então, a fatoração fica:

Passo 5

Agora, igualamos cada fator a zero para encontrar os valores de :

Passo 6

Portanto, os pontos críticos da função são nos valores de e .

Resposta

Os pontos críticos da função são .

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