Determine os pontos críticos da função dada.
f(x) = x^4 - 8x^3 + 25x^2 - 42x + 21
Resp. {3}

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar os pontos críticos dessa função. Pontos críticos são aqueles onde a derivada da função é zero ou não existe. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de e encontrar onde ela se anula.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender como a função está variando em cada ponto. Para cada termo da função, aplicamos a regra do poder, que diz que a derivada de é .
Então, derivando cada termo de :

Passo 3

Agora que temos a derivada , precisamos encontrar os valores de que fazem essa derivada igual a zero, ou seja, resolver a equação:

Passo 4

Vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2:
Agora, tentamos encontrar as raízes dessa equação cúbica. Testando valores inteiros, percebemos que satisfaz a equação:

Passo 5

Como é uma raiz da equação, podemos fatorar o polinômio usando como fator:
Agora, resolvemos a equação quadrática . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, não há raízes reais para essa parte. Portanto, a única raiz real é .

Resposta

O ponto crítico da função é .

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