Seja f(x)=x^{4}. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) em x=2.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{4} e pede a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto onde x=2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função: f(x)=x^{4}.
  • O ponto de tangência tem abscissa x=2.
  • O que se pede: a equação da reta tangente (pode ser dada na forma ponto-inclinação ou na forma y=mx+b).

Passo 2

Entendendo o que é a reta tangente: geometricamente, a reta tangente ao gráfico de f em x=a é a reta que toca o gráfico em (a,f(a)) e tem a mesma inclinação (mesma derivada) que o gráfico naquele ponto. Em cálculo, a inclinação da reta tangente é o valor da derivada f'(a).
Recordando a definição de derivada (intuição e fórmula):
  • A derivada f'(a) é o limite da razão de variação média quando o incremento tende a zero:
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Aqui:
  • a é o ponto onde queremos a derivada (no nosso caso a=2);
  • h é um incremento pequeno em x;
  • A expressão dentro do limite é a taxa de variação média; o limite dá a taxa instantânea, isto é, a inclinação da reta tangente.

Passo 3

Regra prática usada: a regra do poder (power rule) para derivadas. Ela é uma ferramenta que permite calcular rapidamente a derivada de funções da forma x^{n}.
A regra diz:
\text{Se } g(x)=x^{n}\text{ com }n\in\mathbb{R},\text{ então }g'(x)=n x^{n-1}.ã
O significado das variáveis:
  • x é a variável independente;
  • n é o expoente;
  • g'(x) é a derivada de g em função de x.
    Esta regra pode ser provada a partir da definição de derivada, mas na prática é a forma básica que se aprende e usa em provas.

Passo 4

Aplicando a regra do poder à nossa função f(x)=x^{4}:
f'(x)=4x^{3}.
Expliquei passo a passo: tomei n=4 e apliquei n x^{n-1}, então 4\cdot x^{4-1}=4x^{3}.

Passo 5

Agora calculo a inclinação da tangente no ponto x=2, ou seja f'(2):
f'(2)=4\cdot 2^{3}=4\cdot 8=32.
Portanto a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente é m=32.

Passo 6

Precisamos também das coordenadas do ponto de tangência (x_0,y_0)=(2,f(2)). Calculo f(2):
f(2)=2^{4}=16.
Então o ponto de tangência é (2,16).

Passo 7

Equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Substituindo x_{0}=2, y_{0}=16 e m=32:
y-16=32(x-2).

Passo 8

Simplificando para a forma y=mx+b:
y-16=32x-64
y=32x-64+16
y=32x-48.
Verificação rápida: para x=2 obtemos y=64-48=16, que é o valor de f(2), então a reta realmente passa pelo ponto de tangência.

Resposta

y=32x-48

Exercícios relacionados