Seja
. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
em
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto onde
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função:
. - O ponto de tangência tem abscissa
. - O que se pede: a equação da reta tangente (pode ser dada na forma ponto-inclinação ou na forma
).
Passo 2
Entendendo o que é a reta tangente: geometricamente, a reta tangente ao gráfico de
em
é a reta que toca o gráfico em
e tem a mesma inclinação (mesma derivada) que o gráfico naquele ponto. Em cálculo, a inclinação da reta tangente é o valor da derivada
.
Recordando a definição de derivada (intuição e fórmula):
- A derivada
é o limite da razão de variação média quando o incremento tende a zero:
Aqui:
-
é o ponto onde queremos a derivada (no nosso caso ); -
é um incremento pequeno em ; - A expressão dentro do limite é a taxa de variação média; o limite dá a taxa instantânea, isto é, a inclinação da reta tangente.
Passo 3
Regra prática usada: a regra do poder (power rule) para derivadas. Ela é uma ferramenta que permite calcular rapidamente a derivada de funções da forma
.
A regra diz:
O significado das variáveis:
-
é a variável independente; -
é o expoente; -
é a derivada de em função de .
Esta regra pode ser provada a partir da definição de derivada, mas na prática é a forma básica que se aprende e usa em provas.
Passo 4
Aplicando a regra do poder à nossa função
:
Expliquei passo a passo: tomei
e apliquei
, então
.
Passo 5
Agora calculo a inclinação da tangente no ponto
, ou seja
:
Portanto a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente é
.
Passo 6
Precisamos também das coordenadas do ponto de tangência
. Calculo
:
Então o ponto de tangência é
.
Passo 7
Equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
Substituindo
,
e
:
Passo 8
Simplificando para a forma
:
Verificação rápida: para
obtemos
, que é o valor de
, então a reta realmente passa pelo ponto de tangência.