Calcule as derivadas das seguintes funções usando as regras básicas:
(7) f(x)=(x+4)^3raizx-1.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=(x+4)^3raizx-1
O conteúdo é derivação usando regra do produto e regra da potência. Vamos precisar reescrever a função em potências e aplicar as regras básicas.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=(x+4)^3,(x-1)^-tfrac12
Aqui vemos um produto de duas funções:
u(x)=(x+4)^3, v(x)=(x-1)^-tfrac12

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v por regra da potência:
u'(x)=3,(x+4)^2, v'(x)=-tfrac12,(x-1)^-tfrac32

Passo 4

Aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x) =3,(x+4)^2,(x-1)^-tfrac12 -tfrac12,(x+4)^3,(x-1)^-tfrac32

Passo 5

Fatoramos o fator comum (x+4)^2(x-1)^-tfrac32:
f'(x) =(x+4)^2(x-1)^-tfrac32 l[3(x-1)-tfrac12(x+4)r]
No colchete:
3(x-1)-tfrac12(x+4) =6(x-1)-(x+4)2 =6x-6-x-42 =5(x-2)2
Logo,
f'(x) =52,(x+4)^2(x-2),(x-1)^-tfrac32

Resposta

f'(x)=52,(x+4)^2(x-2)(x-1)^3/2

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