Questão 30. Nos itens abaixo, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
y^{2}=c x^{3}

Passo 1

O enunciado dá a família de curvas
y^2 = c,x^3
e pede as trajetórias ortogonais, ou seja, as curvas que cortam ortogonalmente todas as curvas dessa família. Vamos usar o método de equações diferenciais:
  1. diferenciar implicitamente;
  2. eliminar o parâmetro c;
  3. obter a inclinação da família dada;
  4. trocar pela inclinação ortogonal;
  5. resolver a equação diferencial resultante.

Passo 2

Para achar a derivada da família, diferencia-mos implicitamente
y^2 = c,x^3
em relação a x. Obtém-se
2y,dydx = ccdot 3x^2,
ou seja
dydx = 3c,x^22y

Passo 3

Eliminamos o parâmetro c usando a relação original
c = y^2x^3
Substituindo em dydx, vem
dydx = 3x^22y,y^2x^3 = 3y2x

Passo 4

A inclinação das trajetórias ortogonais é o negativo do inverso da inclinação da família dada. Logo
dydx|perp = -13y2x = -2x3y
Portanto a equação diferencial das ortogonais é
dydx = -2x3y

Passo 5

Separamos variáveis em
y,dy = -23,x,dx
e integramos:
integral y,dy = -23integral x,dx
y^22 = -23,x^22 + K,
onde K é constante de integração.

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 2, obtém-se
y^2 = -23,x^2 + C,
com C=2K. Rearranjando, podemos escrever
23,x^2 + y^2 = C Long<=ftrightarrow 2x^2 + 3y^2 = C',
onde C' é constante arbitrária.

Resposta

2x^2 + 3y^2 = C

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