Questão 30. Nos itens abaixo, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
y^{2}=c x^{3}
Passo 1
O enunciado dá a família de curvas
e pede as trajetórias ortogonais, ou seja, as curvas que cortam ortogonalmente todas as curvas dessa família. Vamos usar o método de equações diferenciais:
diferenciar implicitamente;
eliminar o parâmetro ;
obter a inclinação da família dada;
trocar pela inclinação ortogonal;
resolver a equação diferencial resultante.
Passo 2
Para achar a derivada da família, diferencia-mos implicitamente
em relação a . Obtém-se
ou seja
Passo 3
Eliminamos o parâmetro usando a relação original
Substituindo em , vem
Passo 4
A inclinação das trajetórias ortogonais é o negativo do inverso da inclinação da família dada. Logo