Questão 30. Nos itens abaixo, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
y=\frac{x}{1+c x}

Passo 1

O enunciado apresenta a família de curvas
y = x1 + c x
onde c é parâmetro. Queremos encontrar as trajetórias ortogonais dessa família. Para isso, vamos obter a equação diferencial da família original, calcular sua derivada, construir a EDO das ortogonais e integrá-la.

Passo 2

Eliminamos o parâmetro c a partir de
y,(1 + c x) = x
o que leva a
c = x - yx,y

Passo 3

Calculamos a derivada de
y = x1 + c x
tratando c como constante. Usando a regra do quociente:
dydx = 1cdot(1 + c x) - xcdot c(1 + c x)^2 = 1(1 + c x)^2
Como 1 + c x = tfracxy, obtemos
dydx = y^2x^2

Passo 4

As trajetórias ortogonais têm declive igual ao negativo do recíproco, isto é,
dydx = -x^2y^2
Essa EDO é separável. Escrevemos
y^2,dy = -,x^2,dx
e integramos ambos os lados:
integral y^2,dy = integral -x^2,dx

Passo 5

Integrando, obtemos
y^33 = -x^33 + K,
onde K é constante de integração. Multiplicando por 3 e agrupando constantes, resulta
x^3 + y^3 = C,
em que C é constante arbitrária.

Resposta

As trajetórias ortogonais da família dada são
x^3 + y^3 = C,
onde C é constante arbitrária.

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