Questão 30. Nos itens abaixo, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
y=\frac{x}{1+c x}
y=\frac{x}{1+c x}
Passo 1
O enunciado apresenta a família de curvas
onde
é parâmetro. Queremos encontrar as trajetórias ortogonais dessa família. Para isso, vamos obter a equação diferencial da família original, calcular sua derivada, construir a EDO das ortogonais e integrá-la.
Passo 2
Eliminamos o parâmetro
a partir de
o que leva a
Passo 3
Calculamos a derivada de
tratando
como constante. Usando a regra do quociente:
Como
, obtemos
Passo 4
As trajetórias ortogonais têm declive igual ao negativo do recíproco, isto é,
Essa EDO é separável. Escrevemos
e integramos ambos os lados:
Passo 5
Integrando, obtemos
onde
é constante de integração. Multiplicando por
e agrupando constantes, resulta
em que
é constante arbitrária.
Resposta
As trajetórias ortogonais da família dada são
onde
é constante arbitrária.