Calcule as derivadas a seguir:
y=\frac{x}{2-x}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = \frac{x}{2 - x}
e pede a derivada y'. Aqui o conteúdo é derivada de função racional e vamos usar a regra do quociente, que diz: se
y = \frac{u(x)}{v(x)},
então
y' = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.

Passo 2

Identificamos as funções
u(x) = x \quad\text{e}\quad v(x) = 2 - x.
Para aplicar a regra do quociente, precisamos de u'(x) e v'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x) = \frac{d}{dx}[\,x\,] = 1, \qquad v'(x) = \frac{d}{dx}[\,2 - x\,] = -1.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente, temos
y' = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{1\cdot(2 - x) - x\cdot(-1)}{(2 - x)^2}.

Passo 5

Agora simplificamos o numerador:
1\cdot(2 - x) - x\cdot(-1) = 2 - x + x = 2.
Portanto
y' = \frac{2}{(2 - x)^2}.

Resposta

y' = \frac{2}{(2 - x)^2}.

Exercícios relacionados