Calcule as derivadas a seguir
\frac{d}{d x}\left(\frac{4-3 x-x^{2}}{x^{2}-2 x+5+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada
\frac{d}{d x}\left(\frac{4-3 x-x^{2}}{x^{2}-2 x+5+1}\right).
Informações dadas:
  • A função a derivar é a razão entre dois polinômios: numerador 4-3x-x^{2} e denominador x^{2}-2x+5+1.
  • Observação imediata: o denominador contém +5+1, que pode ser somado para simplificar a expressão.
O que é pedido:
  • Encontrar a derivada em função de x (ou seja, uma expressão fechada para \dfrac{d}{dx} da função indicada).

Passo 2

Qual método usar? Aqui temos a derivada de uma razão de funções (polinômios). O método direto e mais simples é a regra do quociente (quotient rule). Vou apresentar a regra e explicar por que ela funciona de forma direta e prática para fazer a conta na prova.
Regra do quociente (fórmula): se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis e v(x)\neq0, então
\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Intuição rápida: a razão u/v pode ser vista como u\cdot v^{-1}; aplicar a regra do produto e a derivada de v^{-1} leva exatamente a essa fórmula. Na prova, memorize e use a forma acima; ela é direta e evita passos extras.

Passo 3

Simplificar a expressão antes de derivar: somando 5+1 no denominador,
x^{2}-2x+5+1 = x^{2}-2x+6.
Então a função fica
f(x)=\frac{4-3x-x^{2}}{x^{2}-2x+6}.

Passo 4

Definir as funções u e v (numerador e denominador) e calcular suas derivadas:
u(x)=4-3x-x^{2} = -x^{2}-3x+4, \qquad v(x)=x^{2}-2x+6.
Agora as derivadas, usando as regras básicas (derivada de x^{n} é n x^{n-1}; derivada de constante é 0; derivada de a x é a):
u'(x)=\frac{d}{dx}(-x^{2})+\frac{d}{dx}(-3x)+\frac{d}{dx}(4) = -2x -3 +0 = -2x-3,
v'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2})+\frac{d}{dx}(-2x)+\frac{d}{dx}(6) = 2x -2 +0 = 2x-2.

Passo 5

Aplicar a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=\frac{(-2x-3)(x^{2}-2x+6)-(-x^{2}-3x+4)(2x-2)}{(x^{2}-2x+6)^{2}}.

Passo 6

Calcular cuidadosamente o produto (-2x-3)(x^{2}-2x+6). Vou expandir termo a termo:
(-2x-3)(x^{2}-2x+6)=(-2x)\cdot x^{2}+(-2x)\cdot(-2x)+(-2x)\cdot6+(-3)\cdot x^{2}+(-3)\cdot(-2x)+(-3)\cdot6.
Agora os produtos:
= -2x^{3}+4x^{2}-12x-3x^{2}+6x-18.
Agrupando termos semelhantes:
= -2x^{3}+(4x^{2}-3x^{2})+(-12x+6x)-18 = -2x^{3}+x^{2}-6x-18.

Passo 7

Calcular o outro produto (-x^{2}-3x+4)(2x-2). Expandindo:
(-x^{2}-3x+4)(2x-2)=(-x^{2})\cdot(2x)+(-x^{2})\cdot(-2)+(-3x)\cdot(2x)+(-3x)\cdot(-2)+4\cdot(2x)+4\cdot(-2).
Fazendo os produtos:
= -2x^{3}+2x^{2}-6x^{2}+6x+8x-8.
Agrupando termos semelhantes:
= -2x^{3}+(2x^{2}-6x^{2})+(6x+8x)-8 = -2x^{3}-4x^{2}+14x-8.

Passo 8

Agora formar u'v - u v' usando os resultados dos passos anteriores:
u'v - u v' = \bigl(-2x^{3}+x^{2}-6x-18\bigr) - \bigl(-2x^{3}-4x^{2}+14x-8\bigr).
Removendo parênteses e somando:
= -2x^{3}+x^{2}-6x-18 +2x^{3}+4x^{2}-14x+8.
Os termos em x^{3} se cancelam; somando os demais:
= (x^{2}+4x^{2})+(-6x-14x)+(-18+8) = 5x^{2}-20x-10.

Passo 9

Colocar no denominador e simplificar um fator comum se houver:
f'(x)=\frac{5x^{2}-20x-10}{(x^{2}-2x+6)^{2}}.
Fatorando 5 no numerador:
f'(x)=\frac{5\bigl(x^{2}-4x-2\bigr)}{(x^{2}-2x+6)^{2}}.
Essa é uma forma mais compacta e totalmente simplificada da derivada.

Resposta

\frac{5\bigl(x^{2}-4x-2\bigr)}{(x^{2}-2x+6)^{2}}

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