Calcule as derivadas a seguir
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
Informações dadas:
- A função a derivar é a razão entre dois polinômios: numerador
e denominador . - Observação imediata: o denominador contém
, que pode ser somado para simplificar a expressão.
O que é pedido:
- Encontrar a derivada em função de
(ou seja, uma expressão fechada para da função indicada).
Passo 2
Qual método usar? Aqui temos a derivada de uma razão de funções (polinômios). O método direto e mais simples é a regra do quociente (quotient rule). Vou apresentar a regra e explicar por que ela funciona de forma direta e prática para fazer a conta na prova.
Regra do quociente (fórmula): se
e
são funções diferenciáveis e
, então
Intuição rápida: a razão
pode ser vista como
; aplicar a regra do produto e a derivada de
leva exatamente a essa fórmula. Na prova, memorize e use a forma acima; ela é direta e evita passos extras.
Passo 3
Simplificar a expressão antes de derivar: somando
no denominador,
Então a função fica
Passo 4
Definir as funções
e
(numerador e denominador) e calcular suas derivadas:
Agora as derivadas, usando as regras básicas (derivada de
é
; derivada de constante é
; derivada de
é
):
Passo 5
Aplicar a regra do quociente:
Substituindo
:
Passo 6
Calcular cuidadosamente o produto
. Vou expandir termo a termo:
Agora os produtos:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 7
Calcular o outro produto
. Expandindo:
Fazendo os produtos:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 8
Agora formar
usando os resultados dos passos anteriores:
Removendo parênteses e somando:
Os termos em
se cancelam; somando os demais:
Passo 9
Colocar no denominador e simplificar um fator comum se houver:
Fatorando
no numerador:
Essa é uma forma mais compacta e totalmente simplificada da derivada.