Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
(e)
,
(e)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto que tem abscissa
.
Informações relevantes:
- Função:
. - Ponto de abscissa dado:
. - O que se pede: equação da reta tangente ao gráfico no ponto cujo
vale .
Passo 2
Conceito-chave (o que vou usar): a reta tangente ao gráfico de uma função no ponto de abscissa
tem coeficiente angular igual à derivada da função em
. Formalmente, se chamarmos a derivada por
ou
, então
onde
é o coeficiente angular (a inclinação) da tangente.
A equação da reta tangente que passa pelo ponto com inclinação
é dada pela forma ponto-inclinação:
A equação da reta tangente que passa pelo ponto
Aqui
e
são as coordenadas do ponto de tangência (abscissa e ordenada) e
é a inclinação.
Passo 3
Vou calcular a derivada
da função
. Para polinômios uso a regra do poder (power rule): a derivada de
é
. Explicando rápido: essa regra vem do limite da definição da derivada e permite derivar termo a termo. Aplicando termo a termo:
- derivada de
é , - derivada de
é , - derivada de
é .
Portanto
Passo 4
Avalio a derivada no ponto
para obter a inclinação
:
Então a reta tangente tem inclinação
.
Passo 5
Agora preciso da ordenada
do ponto de tangência, isto é
. Calculo:
Portanto o ponto de tangência é
.
Passo 6
Uso a forma ponto-inclinação da reta com
,
e
:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Essa é a equação da reta tangente pedida.