Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
(e) y=x^{4}+x^{3}-x, x=0

Passo 1

O enunciado dá a função y=x^{4}+x^{3}-x e pede: determinar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto que tem abscissa x=0.
Informações relevantes:
  • Função: y(x)=x^{4}+x^{3}-x.
  • Ponto de abscissa dado: x_0=0.
  • O que se pede: equação da reta tangente ao gráfico no ponto cujo x vale 0.

Passo 2

Conceito-chave (o que vou usar): a reta tangente ao gráfico de uma função no ponto de abscissa x_0 tem coeficiente angular igual à derivada da função em x_0. Formalmente, se chamarmos a derivada por y' ou f', então
m = y'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{y(x_0+h)-y(x_0)}{h},
onde m é o coeficiente angular (a inclinação) da tangente.
A equação da reta tangente que passa pelo ponto (x_0,y_0) com inclinação m é dada pela forma ponto-inclinação:
y-y_0 = m\,(x-x_0).
Aqui x_0 e y_0 são as coordenadas do ponto de tangência (abscissa e ordenada) e m é a inclinação.

Passo 3

Vou calcular a derivada y'(x) da função y(x)=x^{4}+x^{3}-x. Para polinômios uso a regra do poder (power rule): a derivada de \,x^{n}\, é \,n x^{n-1}\,. Explicando rápido: essa regra vem do limite da definição da derivada e permite derivar termo a termo. Aplicando termo a termo:
  • derivada de x^{4} é 4x^{3},
  • derivada de x^{3} é 3x^{2},
  • derivada de -x é -1.
    Portanto
y'(x)=4x^{3}+3x^{2}-1.

Passo 4

Avalio a derivada no ponto x_0=0 para obter a inclinação m:
m = y'(0)=4\cdot 0^{3}+3\cdot 0^{2}-1 = -1.
Então a reta tangente tem inclinação m=-1.

Passo 5

Agora preciso da ordenada y_0 do ponto de tangência, isto é y(0). Calculo:
y(0)=0^{4}+0^{3}-0=0.
Portanto o ponto de tangência é (x_0,y_0)=(0,0).

Passo 6

Uso a forma ponto-inclinação da reta com x_0=0, y_0=0 e m=-1:
y-y_0 = m\,(x-x_0).
Substituindo os valores:
y-0 = -1\,(x-0).
Simplificando:
y=-x.
Essa é a equação da reta tangente pedida.

Resposta

y=-x

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