Dada a função y=x^{3}+x^{2}+4 x, calcule a derivada de sua função inversa no ponto \mathrm{x}_{0}=-1.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}+x^{2}+4x
e pede a derivada de sua inversa no ponto x_{0}=-1.
O que vamos usar é a fórmula da derivada da função inversa: se y=f(x) é invertível e diferenciável, então
\bigl(f^{-1}\bigr)'(y_{0})=\frac{1}{f'\bigl(x_{0}\bigr)}
onde y_{0}=f(x_{0}).

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Pela regra do poder e soma,
f'(x)=3x^{2}+2x+4.

Passo 3

Avaliamo-la em x_{0}=-1:
f'(-1)=3\cdot(-1)^{2}+2\cdot(-1)+4 =3-2+4=5.

Passo 4

Aplicando a fórmula da inversa, a derivada de f^{-1} no ponto y_{0}=f(-1) (que é o mesmo “lugar” indicado por x_{0}=-1, invertido) é
\bigl(f^{-1}\bigr)'(y_{0})=\frac{1}{f'(-1)}=\frac{1}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}

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