Obtenha o valor da derivada da inversa da função f(x)=x^{3}+x no ponto x_{0}=1.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=x^3+x
e pede a derivada da sua inversa no ponto x_0=1. Para isso vamos usar o fato de que, se g=f^{-1}, então vale a fórmula
g'(y)=\frac{1}{f'\bigl(g(y)\bigr)}.
Em particular, quando interpretamos x_0=1 como ponto na origem de f, temos y_0=f(x_0)=f(1)=2, e a derivada da inversa em y_0 satisfaz
g'(2)=\frac{1}{f'(1)}.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como f(x)=x^3+x,
f'(x)=3x^2+1.

Passo 3

Avaliamo f' em x_0=1:
f'(1)=3\cdot1^2+1=3+1=4.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da derivada da inversa no ponto y_0=2:
(f^{-1})'(2)=\frac{1}{f'(1)}=\frac{1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}

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