Calcule as derivadas usando regra da cadeia: f(x)=3 cdot raizx+5 cdot raiz[3]x+10

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=3·√x + 5·∛x + 10 usando a regra da cadeia, ou seja, a derivada de funções do tipo x^r; vamos precisar da regra da potência e do fato de que a derivada de uma constante é zero.

Passo 2

Reescrevendo em potências temos f(x)=3·x^{1/2} + 5·x^{1/3} + 10.
Aplicando a regra da potência, isto é, d/dx[x^r] = r·x^{r-1}, derivamos termo a termo: f’(x)=3·(1/2)x^{1/2 - 1} + 5·(1/3)x^{1/3 - 1} + 0.

Passo 3

Calculando os expoentes e multiplicando os coeficientes: f’(x) = (3/2)x^{-1/2} + (5/3)x^{-2/3}.
Para voltar ao formato de raízes, usamos x^{-1/2}=1/√x e x{-2/3}=1/∛(x2), obtendo f’(x)=\frac{3}{2√x} + \frac{5}{3∛(x^2)}.

Resposta

f’(x)=\frac{3}{2\sqrt{x}} + \frac{5}{3\sqrt[3]{x^2}}

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