Calcule as derivadas. y = (1 + x^3 + 2*x^5)^10 / e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas! A gente precisa calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar as regras de derivação, especificamente a regra do quociente e a regra da cadeia, que são fundamentais quando lidamos com funções que são divisões ou composições de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes dessa função para aplicar a regra do quociente. A função está na forma de , onde:
A regra do quociente nos diz que a derivada de é:
Então, vamos precisar calcular e .

Passo 3

Vamos começar calculando , que é mais simples:
Agora, vamos calcular . Como , usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de é .
Aqui, e . Então:
Agora, calculamos :
Portanto:

Passo 4

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do quociente:
Vamos simplificar esse resultado. Primeiro, observe que está presente em todas as partes. Podemos fatorar no numerador:
Simplificando :
Podemos fatorar :
Simplificando dentro dos colchetes:
Então, a derivada fica:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados