1
Considere o círculo
no espaço parametrizado por
e a função
Calcule
Considere o círculo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha de uma função
ao longo do círculo
parametrizado por
onde
varia de
a
.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da curva
. A função
nos dá as coordenadas
,
e
em termos de
. Ou seja:
Passo 3
O próximo passo é calcular a derivada de
em relação a
, que nos dá o vetor velocidade
:
Então,
Passo 4
Agora, vamos substituir as coordenadas
,
e
na função
:
Passo 5
A integral de linha
pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
Primeiro, precisamos calcular a norma do vetor velocidade
:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na integral:
Passo 7
Para resolver a integral
, usamos a identidade trigonométrica:
Portanto,
As integrais se tornam:
Passo 8
Substituindo o resultado da integral de
de volta na expressão principal:
Resposta
O valor da integral de linha
é
.