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Considere o círculo C1 no espaço parametrizado por varphi(t)=(3 cos (t), 4 cos (t), 5 sen(t)) ; t in[0,2 pi] e a função f(x, y, z)=x y Calcule ointC1 f d r

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha de uma função ao longo do círculo parametrizado por onde varia de a .
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva x(t) = 3 cos(t) y(t) = 4 cos(t) z(t) = 5 sin(t) . A função nos dá as coordenadas , e em termos de . Ou seja:

Passo 3

O próximo passo é calcular a derivada de varphi'(t) = ( dxdt, dydt, dzdt ) dxdt = -3 sin(t) dydt = -4 sin(t) dzdt = 5 cos(t) em relação a varphi'(t) = (-3 sin(t), -4 sin(t), 5 cos(t)) , que nos dá o vetor velocidade :
Então,

Passo 4

Agora, vamos substituir as coordenadas f(varphi(t)) = x(t) cdot y(t) = (3 cos(t)) cdot (4 cos(t)) = 12 cos^2(t) , e na função :

Passo 5

A integral de linha ointC1 f , dr = integral0^2pi f(varphi(t)) cdot |varphi'(t)| , dt pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
|varphi'(t)| = raiz(-3 sin(t))^2 + (-4 sin(t))^2 + (5 cos(t))^2 = raiz9 sin^2(t) + 16 sin^2(t) + 25 cos^2(t) = raiz25 sin^2(t) + 25 cos^2(t) = raiz25 (sin^2(t) + cos^2(t)) = raiz25 = 5
Primeiro, precisamos calcular a norma do vetor velocidade :

Passo 6

Agora, substituímos ointC1 f , dr = integral0^2pi 12 cos^2(t) cdot 5 , dt = 60 integral0^2pi cos^2(t) , dt e na integral:

Passo 7

Para resolver a integral cos^2(t) = 1 + cos(2t)2 , usamos a identidade trigonométrica:
integral0^2pi cos^2(t) , dt = integral0^2pi 1 + cos(2t)2 , dt = 12 integral0^2pi 1 , dt + 12 integral0^2pi cos(2t) , dt
Portanto,
12 [t]0^2pi + 12 [ sin(2t)2 ]0^2pi = 12 (2pi - 0) + 14 (sin(4pi) - sin(0)) = pi + 0 = pi
As integrais se tornam:

Passo 8

Substituindo o resultado da integral de ointC1 f , dr = 60 cdot pi = 60pi de volta na expressão principal:

Resposta

O valor da integral de linha é .

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