Questão 6:

Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Ao fim de 10 min , cresceu 4 \%.
(a) Determine a constante de proporcionalidade.
(b) Quanto tempo levará a cultura para duplicar?

Passo 1

O enunciado descreve um crescimento exponencial em que a taxa de variação da quantidade A(t) é proporcional à própria quantidade. O modelo é
\frac{dA}{dt} = k\,A,
cuja solução geral é
A(t) = A(0)\,e^{k t}.

Passo 2

Sabemos que, ao fim de 10 min, a cultura cresceu 4\%, ou seja,
A(10) = 1{,}04\,A(0).
Substituindo na solução:
A(0)\,e^{k\cdot 10} = 1{,}04\,A(0) \quad\Longrightarrow\quad e^{10k} = 1{,}04 \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{1}{10}\ln\bigl(1{,}04\bigr).
Numericamente,
k \approx \frac{1}{10}\times 0{,}0392207 = 0{,}0039221\\ \text{min}^{-1}.

Passo 3

Para duplicar a população, queremos A(T)=2\,A(0), isto é,
A(0)\,e^{kT} = 2\,A(0) \quad\Longrightarrow\quad e^{kT} = 2 \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{\ln(2)}{k}.
Substituindo o valor de k:
T = \frac{\ln(2)}{\frac{1}{10}\ln(1{,}04)} = 10\,\frac{\ln(2)}{\ln(1{,}04)} \approx 10 \times \frac{0{,}693147}{0{,}0392207} \approx 176{,}7\\ \text{min}.

Resposta

(a) \displaystyle k = \frac{1}{10}\ln(1{,}04)\approx 0{,}0039221\\ \text{min}^{-1}.
(b) T = \displaystyle \frac{\ln(2)}{k}\approx 176{,}7\\ \text{min}.

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