Calcule as derivadas de y^{\prime}=\frac{d y}{d x} usando a regra da cadeia:
\left\{\begin{array}{l}x=2 t-1 \\\ y=t^{3}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define as funções paramétricas
x = 2t - 1,
y = t^3,
e pede a derivada \displaystyle y' = \frac{dy}{dx}. Vamos usar a regra da cadeia para derivadas em função de um parâmetro.

Passo 2

Calculamos primeiro
\frac{dx}{dt}\,.
Como x = 2t - 1, segue que
\frac{dx}{dt} = 2.

Passo 3

Agora calculamos
\frac{dy}{dt}\,.
Como y = t^3, temos
\frac{dy}{dt} = 3t^2.

Passo 4

Pela regra da cadeia para variáveis paramétricas,
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.
Substituindo os resultados anteriores, obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2}.

Passo 5

Se quisermos expressar a derivada em função de x, invertemos x = 2t - 1 para
t = \frac{x+1}{2}
e substituímos em \frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2}, resultando em
\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}\Bigl(\frac{x+1}{2}\Bigr)^{2} = \frac{3(x+1)^{2}}{8}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{3t^{2}}{2} \quad\text{ou, em função de \(x\),}\quad \frac{dy}{dx} = \frac{3(x+1)^{2}}{8}.çã

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