Em um sistema de movimento forçado com amortecimento, um corpo com massa de \mathrm{m}=0,2 \mathrm{~kg} está atada a uma mola com constante elástica \mathrm{K}=2 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. A massa é deslocada meio metro abaixo do seu ponto de equilíbrio. O movimento é amortecido e apresenta c =1,2 \mathrm{Ns} / \mathrm{m}. Além disso, sofre a ação de uma força externa periódica: \mathrm{F}(\mathrm{t})=5 \cos 4 \mathrm{t}. Encontre a equação de movimento y(t)

Passo 1

Resumindo, trata-se de um oscilador forçado e amortecido com massa m=0,2\:\mathrm{kg}, constante elástica K=2\:\mathrm{N/m}, coeficiente de amortecimento c=1,2\:\mathrm{Ns/m} e força externa F(t)=5\cos4t. A massa é deslocada 0,5\:\mathrm{m} abaixo do equilíbrio e solta do repouso, logo as condições iniciais são
y(0)=0,5,\quad y'(0)=0.
O objetivo é achar y(t), solução da EDO
m\,y'' + c\,y' + K\,y = F(t).

Passo 2

Dividindo a equação pelo valor de m=0,2 para obter a forma padrão, temos
y'' + \frac{c}{m}\,y' + \frac{K}{m}\,y = \frac{F(t)}{m},
ou seja,
y'' + 6\,y' + 10\,y = 25\cos(4t).

Passo 3

A solução geral é y(t)=y_h(t)+y_p(t). Primeiro, a parte homogênea vem de
r^2 + 6r + 10 = 0
cuja raiz é
r = -3 \pm i1.
Logo
y_h(t) = e^{-3t}\bigl(C_1\cos t + C_2\sin t\bigr).

Passo 4

Para a parte particular, usamos o método dos coeficientes indeterminados com
y_p(t) = A\cos(4t) + B\sin(4t).
Calculando derivadas e substituindo em
y''+6y'+10y=25\cos(4t)
obtém-se o sistema
\begin{cases} -6A + 24B = 25,\\\\ -24A -6B = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem B=-4A. Substituindo na primeira obtemos
-6A + 24(-4A) =25\;\Longrightarrow\;-102A=25\;\Longrightarrow\;A=-\frac{25}{102},\quad B=\frac{50}{51}.
Logo
y_p(t)=-\frac{25}{102}\cos(4t)+\frac{50}{51}\sin(4t).

Passo 5

Impondo as condições iniciais em
y(t)=e^{-3t}\bigl(C_1\cos t + C_2\sin t\bigr) -\frac{25}{102}\cos(4t)+\frac{50}{51}\sin(4t),
temos
y(0)=C_1-\frac{25}{102}=0,5\;\Longrightarrow\;C_1=\frac{38}{51},
e
y'(0)=-3C_1 + C_2 +4\cdot\frac{50}{51}=0 \;\Longrightarrow\; C_2=-\frac{86}{51}.

Resposta

y(t) =e^{-3t}\Bigl(\frac{38}{51}\cos t-\frac{86}{51}\sin t\Bigr) -\frac{25}{102}\cos(4t)+\frac{50}{51}\sin(4t).

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