Calcule as derivadas de y^{\prime}=\frac{d y}{d x} usando a regra da cadeia:
\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{t+1} \\\ y=\left(\frac{t}{t+1}\right)^{2}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá as funções parametrizadas
x = \frac{1}{t+1} e
y = \bigl(\tfrac{t}{t+1}\bigr)^{2}.
Queremos encontrar
\frac{dy}{dx}
usando a regra da cadeia via o parâmetro t, ou seja,
\frac{dy}{dx} = \frac{\tfrac{dy}{dt}}{\tfrac{dx}{dt}}.

Passo 2

Calcular dx/dt. Como
x = (t+1)^{-1},
temos
\frac{dx}{dt} = -1\,(t+1)^{-2} = -\frac{1}{(t+1)^{2}}.

Passo 3

Calcular dy/dt. Defina
u = \frac{t}{t+1},
então
\frac{du}{dt} = \frac{(t+1)\cdot1 - t\cdot1}{(t+1)^{2}} = \frac{1}{(t+1)^{2}}.
Como y = u^{2},
\frac{dy}{dt} = 2\,u\,\frac{du}{dt} = 2\,\frac{t}{t+1}\;\frac{1}{(t+1)^{2}} = \frac{2t}{(t+1)^{3}}.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia
\frac{dy}{dx} = \frac{\tfrac{dy}{dt}}{\tfrac{dx}{dt}} = \frac{\tfrac{2t}{(t+1)^{3}}}{-\tfrac{1}{(t+1)^{2}}} = -2\,\frac{t}{t+1}.

Resposta

y' = \frac{dy}{dx} = -2\,\frac{t}{t+1}.

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