Sabendo que g é uma função derivável em seu domínio, calcule as derivadas de f se:
f(x)=g\left(\frac{a+b x^{n}}{a-b x^{n}}\right).

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=g\Bigl(\frac{a+bx^n}{a-bx^n}\Bigr),
onde g é derivável. Aqui o conteúdo é regra da cadeia (para composições) e regra do quociente (para derivar \tfrac{a+bx^n}{a-bx^n}). Vamos chamar
u(x)=\frac{a+bx^n}{a-bx^n}
e usar primeiro a cadeia e depois o quociente.

Passo 2

Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).

Passo 3

Para u(x)=\dfrac{a+bx^n}{a-bx^n} aplicamos a regra do quociente. O numerador é N(x)=a+bx^n com N'(x)=bnx^{n-1}, e o denominador é D(x)=a-bx^n com D'(x)=-bnx^{n-1}. Logo,
u'(x) =\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{[D(x)]^2} =\frac{bnx^{n-1}(a-bx^n)-(a+bx^n)(-bnx^{n-1})}{(a-bx^n)^2}.

Passo 4

No numerador fatoramos bnx^{n-1}:
bnx^{n-1}\bigl[(a-bx^n)+(a+bx^n)\bigr] =bnx^{n-1}(2a) =2abn\,x^{n-1}.
Portanto
u'(x)=\frac{2abn\,x^{n-1}}{(a-bx^n)^2} \quad\text{e}\quad f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\,\frac{2abn\,x^{n-1}}{(a-bx^n)^2}.

Resposta

f'(x) =g'\!\Bigl(\frac{a+bx^n}{a-bx^n}\Bigr)\, \frac{2abn\,x^{n-1}}{(a-bx^n)^2}.

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