Calcule o desempenho de um refrigerador térmico operado por um gás ideal, de constante adiabática
, realizando o seguinte ciclo: expansão adiabática de
até
, aquecimento isocórico, compressão adiabática até
e finalmente um resfriamento isocórico até voltar ao estado inicial.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um refrigerador térmico que funciona com um gás ideal e passa por um ciclo com quatro etapas: expansão adiabática, aquecimento isocórico, compressão adiabática e resfriamento isocórico. Nosso objetivo é calcular o desempenho desse refrigerador, que geralmente é medido pela coeficiente de desempenho (COP). Para isso, vamos precisar entender as leis dos gases ideais e as propriedades dos processos adiabáticos e isocóricos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são processos adiabáticos e isocóricos:
- Adiabático: Não troca calor com o ambiente. A equação que relaciona pressão e volume nesse processo é $ PV^\gamma = constante $, onde $ \gamma $ é a constante adiabática.
- Isocórico: Volume constante. Nesse caso, o calor trocado está relacionado apenas à mudança de temperatura.
Passo 3
Vamos definir os quatro estados do ciclo:
- Estado 1: Volume $ V_0 $, temperatura $ T_1 $.
- Estado 2: Volume $ rV_0 $ após expansão adiabática.
- Estado 3: Volume $ rV_0 $ após aquecimento isocórico.
- Estado 4: Volume $ V_0 $ após compressão adiabática.
- Estado 1: Retorno ao estado inicial após resfriamento isocórico.
Passo 4
Durante a expansão adiabática (Estado 1 para Estado 2):
Usamos a relação $ T_2 = T_1 / r^{\gamma - 1} $.
Isso nos dá a temperatura após a expansão.
Passo 5
No aquecimento isocórico (Estado 2 para Estado 3):
Como o volume é constante, a relação entre as temperaturas é $ T_3 = T_2 \times \frac{Q_{in}}{nC_v} $.
Aqui, $ Q_{in} $ é o calor absorvido e $ C_v $ é a capacidade calorífica a volume constante.
Passo 6
Durante a compressão adiabática (Estado 3 para Estado 4):
Usamos novamente a relação adiabática, mas agora para compressão:
$ T_4 = T_3 \times r^{\gamma - 1} $.
Passo 7
No resfriamento isocórico (Estado 4 para Estado 1):
O calor rejeitado $ Q_{out} $ é dado por:
$ Q_{out} = nC_v (T_4 - T_1) $.
Passo 8
Agora, para encontrar o trabalho realizado $ W $:
O trabalho é a diferença entre o calor absorvido e o calor rejeitado:
$ W = Q_{in} - Q_{out} $.
Passo 9
Finalmente, o coeficiente de desempenho (COP) do refrigerador é:
$ COP = \frac{Q_{out}}{W} $.
Substituindo as expressões encontradas para $ Q_{out} $ e $ W $, podemos simplificar e obter a relação final desejada em termos de $ r $ e $ \gamma $.
Resposta
Após os cálculos, o coeficiente de desempenho do refrigerador é dado por: