5 -Considere um cilindro longo magnetizado uniformemente na direção de seu eixo com M=M0 k. Calcule o valor do campo B , devido à magnetização, dentro e fora do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos um cilindro longo que está magnetizado de forma uniforme ao longo do seu eixo, ou seja, na direção da sua altura. A magnetização é dada por M = M0 k. O que precisamos fazer é calcular o campo magnético B gerado por essa magnetização, tanto dentro quanto fora do cilindro.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de magnetização, como a relação entre magnetização M, campo magnético B e o campo auxiliar H. Além disso, vamos utilizar as propriedades de simetria do cilindro para simplificar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da relação fundamental que liga o campo magnético B ao campo auxiliar H e à magnetização M:
B = mu0 (H + M)
Aqui, mu0 é a permeabilidade do vácuo.
Como temos um material magnetizado, precisamos considerar as correntes de magnetização, que são divididas em correntes de superfície e de volume. A magnetização uniforme simplifica nosso trabalho, já que a corrente de volume Jb = nabla times M será zero (porque a magnetização é uniforme e, portanto, seu rotacional é nulo).
Isso significa que a única contribuição vem das correntes de superfície, que são dadas por:
Kb = M times n
onde n é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso cilindro. Como a magnetização M = M0 k é na direção do eixo do cilindro, o vetor normal n na superfície será radial, ou seja, na direção er.
Calculando o produto vetorial:
Kb = M0 k times er = M0 ephi
Assim, temos uma corrente de superfície circular uniforme ao longo da superfície do cilindro, na direção tangencial ephi.

Passo 4

Essa corrente de superfície atua de maneira semelhante a um solenoide perfeitamente longo com corrente uniforme. Para um solenoide longo, sabemos que o campo magnético interno é uniforme e paralelo ao eixo do solenoide, enquanto fora do solenoide o campo é praticamente zero.
Aplicando isso ao nosso caso:
  • Dentro do cilindro: O campo magnético B será uniforme e na direção do eixo, ou seja, na direção k.
  • Fora do cilindro: O campo magnético B será praticamente nulo.

Passo 5

Agora, vamos relacionar a magnetização M com o campo magnético B dentro do cilindro. De acordo com a relação inicial:
B = mu0 (H + M)
Dentro do cilindro, para garantir que o campo externo seja nulo, o campo auxiliar H deve cancelar a contribuição da magnetização. Portanto:
H = -M
Substituindo na equação de B:
B = mu0 (H + M) = mu0 (-M + M) = 0
Contudo, isso sugere que o campo total dentro seria zero, o que contradiz a analogia com o solenoide. O erro aqui está na simplificação. Na verdade, para um solenoide infinito, o campo interno é dado por:
B = mu0 M
Portanto, dentro do cilindro:
B = mu0 M0 k

Resposta

Dentro do cilindro, o campo magnético é B = mu0 M0 k e fora do cilindro, o campo magnético é nulo, ou seja, B = 0.

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