5 -Considere um cilindro longo magnetizado uniformemente na direção de seu eixo com
. Calcule o valor do campo B , devido à magnetização, dentro e fora do cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos um cilindro longo que está magnetizado de forma uniforme ao longo do seu eixo, ou seja, na direção da sua altura. A magnetização é dada por
. O que precisamos fazer é calcular o campo magnético
gerado por essa magnetização, tanto dentro quanto fora do cilindro.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de magnetização, como a relação entre magnetização
, campo magnético
e o campo auxiliar
. Além disso, vamos utilizar as propriedades de simetria do cilindro para simplificar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da relação fundamental que liga o campo magnético
ao campo auxiliar
e à magnetização
:
Aqui,
é a permeabilidade do vácuo.
Como temos um material magnetizado, precisamos considerar as correntes de magnetização, que são divididas em correntes de superfície e de volume. A magnetização uniforme simplifica nosso trabalho, já que a corrente de volume
será zero (porque a magnetização é uniforme e, portanto, seu rotacional é nulo).
Isso significa que a única contribuição vem das correntes de superfície, que são dadas por:
onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Vamos aplicar isso ao nosso cilindro. Como a magnetização
é na direção do eixo do cilindro, o vetor normal
na superfície será radial, ou seja, na direção
.
Calculando o produto vetorial:
Assim, temos uma corrente de superfície circular uniforme ao longo da superfície do cilindro, na direção tangencial
.
Passo 4
Essa corrente de superfície atua de maneira semelhante a um solenoide perfeitamente longo com corrente uniforme. Para um solenoide longo, sabemos que o campo magnético interno é uniforme e paralelo ao eixo do solenoide, enquanto fora do solenoide o campo é praticamente zero.
Aplicando isso ao nosso caso:
- Dentro do cilindro: O campo magnético
será uniforme e na direção do eixo, ou seja, na direção . - Fora do cilindro: O campo magnético
será praticamente nulo.
Passo 5
Agora, vamos relacionar a magnetização
com o campo magnético
dentro do cilindro. De acordo com a relação inicial:
Dentro do cilindro, para garantir que o campo externo seja nulo, o campo auxiliar
deve cancelar a contribuição da magnetização. Portanto:
Substituindo na equação de
:
Contudo, isso sugere que o campo total dentro seria zero, o que contradiz a analogia com o solenoide. O erro aqui está na simplificação. Na verdade, para um solenoide infinito, o campo interno é dado por:
Portanto, dentro do cilindro:
Resposta
Dentro do cilindro, o campo magnético é
e fora do cilindro, o campo magnético é nulo, ou seja,
.