Calcule o desenvolvimento dos seguintes binômios de Newton:
(2 a-3 b)^{5}=

Passo 1

O enunciado pede: desenvolver o binómio (2a-3b)^{5}.\n
Informações dadas: o binómio tem primeiro termo 2a, segundo termo -3b (repare que o sinal negativo faz parte do segundo termo) e o expoente é 5. A tarefa é expandir esse poder em soma de termos monomiais.

Passo 2

A ferramenta que vamos usar é a fórmula do binómio de Newton. Ela diz que, para quaisquer números (ou expressões) x e y e inteiro n\ge0:
(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{\,n-k}y^{\,k}.
Aqui \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que representa o número de maneiras de escolher k itens de n e pode ser calculado por:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! é o fatorial de n (por exemplo, 5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1). Essencialmente isso nos dá os coeficientes que multiplicam cada termo na expansão.

Passo 3

Vou identificar x, y e n no nosso problema:
x=2a,\qquad y=-3b,\qquad n=5.
Portanto cada termo geral da expansão é
T_k=\binom{5}{k}(2a)^{5-k}(-3b)^{k},\quad k=0,1,2,3,4,5.

Passo 4

Antes de calcular cada termo, calculemos os coeficientes binomiais para n=5. Usando \binom{5}{k} (ou a linha 5 de Pascal) obtemos:
\binom{5}{0}=1,\;\binom{5}{1}=5,\;\binom{5}{2}=10,\;\binom{5}{3}=10,\;\binom{5}{4}=5,\;\binom{5}{5}=1.

Passo 5

Agora vamos calcular cada termo T_k explicitamente, lembrando de separar a parte numérica das variáveis para simplificar com calma.

Passo 6

Termo k=0:
T_0=\binom{5}{0}(2a)^{5}(-3b)^{0}=1\cdot(2^5 a^5)\cdot 1=32a^{5}.
Explicação: 2^5=32 e (-3b)^0=1.

Passo 7

Termo k=1:
T_1=\binom{5}{1}(2a)^{4}(-3b)^{1}=5\cdot(2^4 a^4)\cdot(-3b).
Calcule passo a passo: 2^4=16, então 5\cdot16=80, e 80\cdot(-3)=-240. Logo
T_1=-240a^{4}b.

Passo 8

Termo k=2:
T_2=\binom{5}{2}(2a)^{3}(-3b)^{2}=10\cdot(2^3 a^3)\cdot(9b^2).
Porque (-3)^2=9 e 2^3=8. Então 10\cdot8\cdot9=720. Logo
T_2=720a^{3}b^{2}.

Passo 9

Termo k=3:
T_3=\binom{5}{3}(2a)^{2}(-3b)^{3}=10\cdot(2^2 a^2)\cdot(-27b^3).
Aqui (-3)^3=-27 e 2^2=4. Então 10\cdot4\cdot(-27)=-1080. Logo
T_3=-1080a^{2}b^{3}.

Passo 10

Termo k=4:
T_4=\binom{5}{4}(2a)^{1}(-3b)^{4}=5\cdot(2 a)\cdot(81 b^4).
Porque (-3)^4=81. Então 5\cdot2\cdot81=810. Logo
T_4=810a b^{4}.

Passo 11

Termo k=5:
T_5=\binom{5}{5}(2a)^{0}(-3b)^{5}=1\cdot1\cdot(-243 b^5)=-243 b^{5}.
Porque (-3)^5=-243.

Passo 12

Somando todos os termos obtidos, a expansão completa é a soma dos T_k de k=0 a 5:
(2a-3b)^{5}=32a^{5}-240a^{4}b+720a^{3}b^{2}-1080a^{2}b^{3}+810ab^{4}-243b^{5}.

Resposta

32a^{5}-240a^{4}b+720a^{3}b^{2}-1080a^{2}b^{3}+810ab^{4}-243b^{5}

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