Calcule o desenvolvimento dos seguintes binômios de Newton:
Passo 1
O enunciado pede: desenvolver o binómio
.\n
Informações dadas: o binómio tem primeiro termo , segundo termo
(repare que o sinal negativo faz parte do segundo termo) e o expoente é
. A tarefa é expandir esse poder em soma de termos monomiais.
Informações dadas: o binómio tem primeiro termo
Passo 2
A ferramenta que vamos usar é a fórmula do binómio de Newton. Ela diz que, para quaisquer números (ou expressões)
e
e inteiro
:
Aqui
é o coeficiente binomial, que representa o número de maneiras de escolher
itens de
e pode ser calculado por:
onde
é o fatorial de
(por exemplo,
). Essencialmente isso nos dá os coeficientes que multiplicam cada termo na expansão.
Passo 3
Vou identificar
,
e
no nosso problema:
Portanto cada termo geral da expansão é
Passo 4
Antes de calcular cada termo, calculemos os coeficientes binomiais para
. Usando
(ou a linha 5 de Pascal) obtemos:
Passo 5
Agora vamos calcular cada termo
explicitamente, lembrando de separar a parte numérica das variáveis para simplificar com calma.
Passo 6
Termo
:
Explicação:
e
.
Passo 7
Termo
:
Calcule passo a passo:
, então
, e
. Logo
Passo 8
Termo
:
Porque
e
. Então
. Logo
Passo 9
Termo
:
Aqui
e
. Então
. Logo
Passo 10
Termo
:
Porque
. Então
. Logo
Passo 11
Termo
:
Porque
.
Passo 12
Somando todos os termos obtidos, a expansão completa é a soma dos
de
a
: