Calcule o desenvolvimento em série de Taylor em torno do ponto \mathrm{x}=0, até a segunda ordem e com resto de Lagrange das funções:
f(x)=\frac{1-x}{\sqrt{1+x}}\

Passo 1

O enunciado pede o polinomial de Taylor de ordem 2 de
f(x)=\frac{1-x}{\sqrt{1+x}}
em torno de x=0, e também a forma do resto na versão de Lagrange. Para isso vamos precisar das derivadas até a terceira ordem de f.

Passo 2

Começamos escrevendo f como produto e aplicando regra do produto e da cadeia:
f(x)=(1-x)(1+x)^{-\tfrac12}.
Dessa forma obtemos
f'(x)=-\,(1+x)^{-\tfrac12}+(1-x)\Bigl(-\tfrac12\Bigr)(1+x)^{-\tfrac32} =\,-\frac{3+x}{2\,(1+x)^{3/2}},
f''(x) =\frac{7+x}{4\,(1+x)^{5/2}},
f'''(x) =-\frac{3\,(11+x)}{8\,(1+x)^{7/2}}.

Passo 3

Avaliamo as derivadas em x=0:
f(0)=\frac{1-0}{\sqrt{1+0}}=1, \quad f'(0)=-\frac{3+0}{2\cdot1^{3/2}}=-\frac32, \quad f''(0)=\frac{7+0}{4\cdot1^{5/2}}=\frac74.

Passo 4

O polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de 0 é
T_2(x) =f(0)+f'(0)\,x+\frac{f''(0)}{2!}\,x^2 =1-\frac32\,x+\frac{\tfrac74}{2}\,x^2 =1-\frac32\,x+\frac78\,x^2.

Passo 5

A forma do resto de Lagrange é
R_2(x) =\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,x^3 \quad\text{para algum }\xi\text{ entre }0\text{ e }x.
Como f^{(3)}(t)=-\dfrac{3(11+t)}{8(1+t)^{7/2}}, temos
R_2(x) =-\frac{3(11+\xi)}{8(1+\xi)^{7/2}}\;\frac{x^3}{6} =-\frac{11+\xi}{16\,(1+\xi)^{7/2}}\,x^3.

Resposta

O desenvolvimento de Taylor até a segunda ordem é
f(x)=1-\frac32\,x+\frac78\,x^2+R_2(x)
com
R_2(x)=-\frac{11+\xi}{16\,(1+\xi)^{7/2}}\,x^3,
para algum \xi entre 0 e x.

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