Calcule
det(cccc 1+x & 1 & 1 & 1 1 & 1-x & 1 & 1 1 & 1 & 1+z & 1 1 & 1 & 1 & 1-z )
( ) 0
( ) x^2+z^2
( ) (1-x^2)(1-z^2)
( ) 4-x^2 z^2
( ) x^2 z^2
( ) 4

Passo 1

O exercício pede para calcular o determinante de uma matriz 4×4 que tem a forma de uma matriz de todos uns somada a uma matriz diagonal. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais precisamente determinantes e o truque de atualização de posto-1 (matrix determinant lemma).

Passo 2

Note que podemos escrever a matriz como M = J + D, onde J é a matriz 4×4 com todos os elementos iguais a 1 e

Passo 3

D=diag(x,-x,z,-z)

Passo 4

Assim, J é um produto de vetores u vᵀ com u = v = (1,1,1,1)ᵀ, ou seja, J = u vᵀ. Para matrizes invertíveis D e vetores u,v vale o lema:

Passo 5

det(D + u v^T) = det(D)l(1 + v^T D^-1 ur)

Passo 6

Aqui temos det(D) = x · (−x) · z · (−z) = x² z². E D^{-1} = diag(1/x,−1/x,1/z,−1/z), então

Passo 7

v^T D^-1 u = 1x - 1x + 1z - 1z = 0

Passo 8

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Passo 9

det(M) = det(D),(1+0) = x^2 z^2

Resposta

x^2z^2

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