Sejam
A=(ccc a & y & z b & s & t c & d & e ), B=(ccc 2 b & 2 s & 2 t -a & -y & -z c+b & d+s & e+t )
Se det A=10 determine o valor de det B.
( ) 0
( ) 40
( ) 20
( ) 5
( ) -20
( ) -5
( ) -40

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes 3×3, A e B, e informa que det(A)=10. A questão é calcular det(B) usando propriedades de determinante, especialmente multilinearidade em linhas e alteração de sinal ao permutar linhas.

Passo 2

Vamos denotar as linhas de A por r₁, r₂ e r₃:
r1 = (a;y;z), r2 = (b;s;t), r3 = (c;d;e)

Passo 3

Observe que as linhas de B são combinações das linhas de A:
• R₁(B)=2r₂
• R₂(B)=−r₁
• R₃(B)=r₂+r₃

Passo 4

Pela linearidade na terceira linha,
det B=detl(2r2,,-r1,,r2+r3r)=detl(2r2,,-r1,,r2r)+detl(2r2,,-r1,,r3r)

Passo 5

No primeiro termo as linhas 1 e 3 coincidem (ambas r₂), então
detl(2r2,,-r1,,r2r)=0

Passo 6

No segundo termo fatoramos 2 na linha 1 e −1 na linha 2:
detl(2r2,,-r1,,r3r)=(2)(-1)detl(r2,,r1,,r3r)=-2detl(r2,,r1,,r3r)
Permutando r₁ e r₂ trocamos o sinal:
detl(r2,,r1,,r3r)=-detl(r1,,r2,,r3r)=-det A=-10
Logo
detl(2r2,,-r1,,r3r)=-2times(-10)=20

Passo 7

Somando os dois termos:
det B=0+20=20

Resposta

20

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