Seja o sistema de equações
l x+2 y+4 z=0 x+7 y+9 z=a -x+3 y+z=0
Determine o valor de a que torna o sistema possível indeterminado.
( ) 0
( ) -1
( ) 1 / 2
( ) 1
( ) 3
( ) 4/5

Passo 1

O sistema dado é

Passo 2

x+2y+4z=0 x+7y+9z=a -x+3y+z=0

Passo 3

Matéria envolvida: sistemas lineares e condição de existência de infinitas soluções via posto (rank). Vamos usar determinantes e postos de matrizes.

Passo 4

Vamos montar a matriz de coeficientes

Passo 5

A=1&2&41&7&9-1&3&1

Passo 6

e calcular seu determinante para ver se o posto é menor que 3.

Passo 7

Calculando

Passo 8

det(A)=1cdotdet7&93&1-2cdotdet1&9-1&1+4cdotdet1&7-1&3

Passo 9

=1(7cdot1-9cdot3)-2(1cdot1-9cdot(-1))+4(1cdot3-7cdot(-1))=-20-20+40=0

Passo 10

Como det(A)=0, o posto de A é no máximo 2. Para ver que é exatamente 2, basta notar que um menor de ordem 2, por exemplo

Passo 11

det1&21&7=5neq0,

Passo 12

é não nulo. Então rank(A)=2.

Passo 13

Para o sistema ter infinitas soluções, precisamos de

Passo 14

rank(A)=rank([A|b])<3

Passo 15

Isto equivale a exigir que todos os determinantes de ordem 3 da matriz aumentada sejam zero. Considere a matriz aumentada e o menor formado pelas colunas 1,2 e 4:

Passo 16

1&2&a1&7&a-1&3&0

Passo 17

Seu determinante é

Passo 18

1cdotdet7&a3&0-2cdotdet1&a-1&0+acdotdet1&7-1&3=5a

Passo 19

Para que este menor seja zero precisamos de 5a=0, ou seja, a=0.

Passo 20

Podemos checar outros menores de ordem 3 com a coluna do termo independente e chegamos ao mesmo valor de a.

Resposta

0

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