Seja F(R, R) o R-espaço vetorial das funções f: R R. Seja W subset F(R, R) onde W=f: R R mid f(0)=1. Verifique se W é subespaço vetorial de F(R, R).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial F(R,R) das funções reais e o subconjunto
W = ,fcolon RtoRmid f(0)=1
Para que W seja subespaço vetorial, ele precisa satisfazer três condições principais:
  1. conter o vetor zero,
  2. ser fechado em soma de vetores,
  3. ser fechado em multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos a presença do vetor zero em W. O vetor zero em F(R,R) é a função
0colon xmapsto 0,forall xinR
Mas
0(0)=0neq1,
logo 0notin W.

Passo 3

Como todo subespaço deve conter o vetor zero e W não o contém, concluímos que W falha já na primeira condição. Portanto não é subespaço vetorial.

Resposta

W não é subespaço vetorial de F(R,R).

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