Mostre que:
c) 7 mid 2^n+1+3^2 n-1, forall n in N

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
7 mid 2^n+1 + 3^2n-1, forall ninN
O conteúdo aqui é prova por indução (ou argumento de divisibilidade usando recursão).

Passo 2

Verificação da base n=1:
2^1+1+3^2cdot1-1=2^2+3^1=4+3=7,
e 7mid7 é verdadeiro.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que para certo n>=1 valha
7mid 2^n+1+3^2n-1
Queremos mostrar que então
7mid 2^(n+1)+1+3^2(n+1)-1=2^n+2+3^2n+1

Passo 4

Escrevemos
2^n+2+3^2n+1 =2cdot2^n+1+3^2cdot3^2n-1 =2l(2^n+1+3^2n-1r)+l(9-2r),3^2n-1
Como 9-2=7, isso fica
2l(2^n+1+3^2n-1r)+7cdot3^2n-1
Pela hipótese indutiva, 2^n+1+3^2n-1 é múltiplo de 7, e claramente 7cdot3^2n-1 também. Logo a soma é múltiplo de 7, ou seja
7mid 2^n+2+3^2n+1

Resposta

Concluímos por indução que
7 mid 2^n+1+3^2n-1
para todo ninN.

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