Q3: Calcule det \left(\left[\begin{array}{rrrrr}0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ -1 & 2 & 0 & 3 & 3 \\\\ 1 & 7 & 7 & 9 & 5 \\\\ 1 & -5 & -5 & -4 & -3\end{array}\right]\right).
Dica: Calcule via escalonamento.
(A) 29
(B) 30
(C) 31
(D) 32
(E) 33
(F) 34
(G) 35
(H) 36
(I) Não sei

Passo 1

O enunciado pede a determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ -1 & 2 & 0 & 3 & 3 \\\\ 1 & 7 & 7 & 9 & 5 \\\\ 1 & -5 & -5 & -4 & -3 \end{pmatrix}.
Vamos usar escalonamento, lembrando que cada troca de duas linhas inverte o sinal da determinante.

Passo 2

Troque R_{1} e R_{2} para obter pivô 1 na posição ( 1,1). O resultado é
B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ -1 & 2 & 0 & 3 & 3 \\\\ 1 & 7 & 7 & 9 & 5 \\\\ 1 & -5 & -5 & -4 & -3 \end{pmatrix},
e vale
\det(B) = -\,\det(A).

Passo 3

Use R_{1} para zerar a coluna 1 abaixo de R_{1}, sem alterar a determinante:
R_{3} \leftarrow R_{3} + R_{1},\quad R_{4} \leftarrow R_{4} - R_{1},\quad R_{5} \leftarrow R_{5} - R_{1}.
Fica
B \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 0 & 3 & 1 & 4 & 4 \\\\ 0 & 6 & 6 & 8 & 4 \\\\ 0 & -6 & -6 & -5 & -4 \end{pmatrix}.

Passo 4

Expandindo \det(B) pela primeira coluna (apenas o pivô em R_{1} é não zero),
\det(B) = 1 \cdot \det\text{(C)},
onde
C = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 3 & 1 & 4 & 4 \\\\ 6 & 6 & 8 & 4 \\\\ -6 & -6 & -5 & -4 \end{pmatrix}.
Como \det(B)=-\det(A), teremos
\det(A) = -\,\det\text{(C)}.

Passo 5

Para calcular \det\text{(C)}, escalone na coluna 1:
R_{2} \leftarrow R_{2} - R_{1},\quad R_{3} \leftarrow R_{3} - 2 R_{1},\quad R_{4} \leftarrow R_{4} + 2 R_{1}.
Isso leva a
C \sim \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 0 & -2 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 & -2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 6

Expandindo \det\text{(C)} pela primeira coluna,
\det\text{(C)} = 3 \,\det\!\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & -2 \\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Chamando
M = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & -2 \\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix},
temos
\det(M) = (-2)\bigl(2\cdot2-(-2)\cdot1\bigr) -1\bigl(0-0\bigr) +1\bigl(0-0\bigr) = -2\cdot6 = -12.
Logo
\det\text{(C)} = 3 \times (-12) = -36.

Passo 7

Concluímos
\det(A) = -\,\det\text{(C)} = -(-36) = 36.

Resposta

36

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