Q1: Considere A uma matriz cujas colunas saio formadas pelos vetores \vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \vec{a}_{3} \in \mathbb{R}^{3}. Seja B uma matriz cujas colunas \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3} satisfazem: \vec{b}_{1}=4 \vec{a}_{1}+4 \vec{a}_{2}+2 \vec{a}_{3},
\vec{b}_{2}=4 \vec{a}_{1}+6 \vec{a}_{2}+4 \vec{a}_{3} e \vec{b}_{3}=6 \vec{a}_{1}+6 \vec{a}_{2}+4 \vec{a}_{3}.
Sabendo que \operatorname{det}(A)=3, assinale o valor \operatorname{do} \operatorname{det}(B) :
(A) 9
(B) 12
(C) 15
(D) 18
(E) 21
(F) 24
(G) 27
(H) 30
(I) Não sei

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times3} cujas colunas são \vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3 e satisfaz \det(A)=3. Definem-se as colunas de B por combinações lineares:
\vec{b}_1=4\vec{a}_1+4\vec{a}_2+2\vec{a}_3,
\vec{b}_2=4\vec{a}_1+6\vec{a}_2+4\vec{a}_3,
\vec{b}_3=6\vec{a}_1+6\vec{a}_2+4\vec{a}_3.
O conteúdo é usar a propriedade \det(AM)=\det A\cdot\det M para achar \det(B)=\det(A\,M).

Passo 2

Escrevemos B=A\,M, onde M é a matriz que leva (\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3) em (\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3). Seus elementos são os coeficientes das combinações:
M = \begin{pmatrix} 4 & 4 & 6\\\\ 4 & 6 & 6\\\\ 2 & 4 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos \det(M) pela expansão na primeira linha:
\det(M) =4\begin{vmatrix}6&6\\\ 4&4\end{vmatrix} -4\begin{vmatrix}4&6\\\ 2&4\end{vmatrix} +6\begin{vmatrix}4&6\\\ 2&4\end{vmatrix}.
Cada menor 2\times 2
\begin{vmatrix}6&6\\\ 4&4\end{vmatrix} =6\cdot4-6\cdot4=0, \qquad \begin{vmatrix}4&6\\\ 2&4\end{vmatrix} =4\cdot4-6\cdot2=16-12=4.
Logo
\det(M) =4\cdot0 -4\cdot4 +6\cdot4 =-16+24 =8.

Passo 4

Usando \det(B)=\det(A\,M)=\det(A)\cdot\det(M), vem
\det(B)=3\cdot8=24.

Resposta

24 (alternativa F)

Exercícios relacionados