Q5: A matriz que representa a projeção sobre o plano
-4 x+3 y+5 z=0 \mathrm{em} \mathrm{R}^{3} pode ser obtida pelo seguinte cálculo:
(A) \left[\begin{array}{rrr}0 & -4 & 5 \\\\ -5 & 3 & 0 \\\\ 3 & 5 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}0 & -4 & 5 \\\\ -5 & 3 & 0 \\\\ 3 & 5 & 4\end{array}\right]^{-1}
(B) \left[\begin{array}{rrr}0 & -4 & 5 \\\\ -5 & 3 & 0 \\\\ 3 & 5 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}0 & -4 & 5 \\\\ -5 & 3 & 0 \\\\ 3 & 5 & 4\end{array}\right]^{-1}
(C) \left[\begin{array}{rrr}0 & -4 & 5 \\\\ -5 & 3 & 0 \\\\ 3 & 5 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}0 & -4 & 5 \\\\ -5 & 3 & 0 \\\\ 3 & 5 & 4\end{array}\right]^{-1}
(D) \left[\begin{array}{rrr}0 & -4 & 5 \\\\ -5 & 3 & 0 \\\\ 3 & 5 & 4\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}0 & -4 & 5 \\\\ -5 & 3 & 0 \\\\ 3 & 5 & 4\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rrr}0 & -4 & 5 \\\\ -5 & 3 & 0 \\\\ 3 & 5 & 4\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}0 & -4 & 5 \\\\ -5 & 3 & 0 \\\\ 3 & 5 & 4\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rrr}0 & -4 & 5 \\\\ -5 & 3 & 0 \\\\ 3 & 5 & 4\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}0 & -4 & 5 \\\\ -5 & 3 & 0 \\\\ 3 & 5 & 4\end{array}\right]
(G) Não sei

Passo 1

O enunciado pede a matriz da projeção ortogonal sobre o plano
-4x + 3y + 5z = 0
em \mathbb{R}^3. Para resolver, vamos usar mudança de base: escolhemos uma base cujos vetores incluem um normal ao plano e, nessa base, a projeção tem matriz diagonal simples. Depois voltamos à base canônica.

Passo 2

Seja \mathbf{n}=(-4,3,5) um vetor normal ao plano. Completemos \mathbf{n} a uma base de \mathbb{R}^3 com vetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3 quaisquer que sejam independentes e não paralelos a \mathbf{n}. No enunciado, isso está feito pela matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & -4 & 5\\\\ -5& 3 & 0\\\\ 3 & 5 & 4 \end{pmatrix},
cuja segunda coluna é exatamente \mathbf{n}. Em coordenadas dessa base, a projeção sobre o plano anula a componente ao longo de \mathbf{n} e deixa as outras inalteradas.

Passo 3

Em coordenadas da base dada por A, a projeção tem matriz diagonal
D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
pois conservamos as componentes 1 e 3 (vetores no plano) e zeramos a componente 2 (vetor normal).

Passo 4

Para voltar à base canônica, aplicamos a mudança de base x_{\rm can} = A\,x_{\rm nova}, ou seja,
P \;=\; A\,D\,A^{-1}.
Comparando com as opções, isso corresponde exatamente à alternativa (B).

Resposta

(B)

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