O enunciado pede a matriz da projeção ortogonal sobre o plano
-4x + 3y + 5z = 0
em \mathbb{R}^3. Para resolver, vamos usar mudança de base: escolhemos uma base cujos vetores incluem um normal ao plano e, nessa base, a projeção tem matriz diagonal simples. Depois voltamos à base canônica.
Passo 2
Seja \mathbf{n}=(-4,3,5) um vetor normal ao plano. Completemos \mathbf{n} a uma base de \mathbb{R}^3 com vetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3 quaisquer que sejam independentes e não paralelos a \mathbf{n}. No enunciado, isso está feito pela matriz
cuja segunda coluna é exatamente \mathbf{n}. Em coordenadas dessa base, a projeção sobre o plano anula a componente ao longo de \mathbf{n} e deixa as outras inalteradas.
Passo 3
Em coordenadas da base dada por A, a projeção tem matriz diagonal