Q4: Seja A uma matriz quadrada n \times n \operatorname{com} \operatorname{det} A=0. Considere as afirmativas abaixo:
I - Para algum \vec{b} o sistema linear A \vec{x}=\vec{b} năo possui solução.
II - O conjunto de colunas de A não gera o \mathbb{R}^{n}.
(A) Todas sio falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas sio verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz quadrada A de ordem n com \det A=0. O conteúdo principal é teoria de sistemas lineares e espaços coluna: quando \det A=0, a matriz é singular e não invertível. Vamos usar a relação entre determinante, posto (rank) e solução de A\vec x=\vec b para avaliar as afirmações I e II.

Passo 2

Como \det A=0, concluímos que
\operatorname{rank}(A)<n,
ou seja, o posto de A é estritamente menor que n.
Uma consequência de \operatorname{rank}(A)<n é que o espaço coluna de A, que é o subespaço gerado pelas colunas de A, tem dimensão menor que n. Logo, esse espaço coluna não pode ser todo \mathbb{R}^n. Isso mostra que a afirmativa II (“O conjunto de colunas de A não gera o \mathbb{R}^{n}”) é verdadeira.

Passo 3

Como o espaço coluna de A é um subespaço próprio de \mathbb{R}^n, existem vetores \vec b\in\mathbb{R}^n que não pertencem a esse espaço. Para tais \vec b, o sistema
A\vec x=\vec b
não tem solução. Isso prova que a afirmativa I (“Para algum \vec b o sistema linear A\vec x=\vec b não possui solução”) também é verdadeira.

Passo 4

Ambas as afirmativas I e II são verdadeiras, portanto a opção correta é a que diz “Todas são verdadeiras”.

Resposta

(D) Todas são verdadeiras.

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