Q4: Seja
uma matriz quadrada
. Considere as afirmativas abaixo:
I - Para algum
o sistema linear
năo possui solução.
II - O conjunto de colunas de
não gera o
.
(A) Todas sio falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas sio verdadeiras.
(E) Não sei
I - Para algum
II - O conjunto de colunas de
(A) Todas sio falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas sio verdadeiras.
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz quadrada
de ordem
com
. O conteúdo principal é teoria de sistemas lineares e espaços coluna: quando
, a matriz é singular e não invertível. Vamos usar a relação entre determinante, posto (rank) e solução de
para avaliar as afirmações I e II.
Passo 2
Como
, concluímos que
ou seja, o posto de
é estritamente menor que
.
Uma consequência de é que o espaço coluna de
, que é o subespaço gerado pelas colunas de
, tem dimensão menor que
. Logo, esse espaço coluna não pode ser todo
. Isso mostra que a afirmativa II (“O conjunto de colunas de
não gera o
”) é verdadeira.
Uma consequência de
Passo 3
Como o espaço coluna de
é um subespaço próprio de
, existem vetores
que não pertencem a esse espaço. Para tais
, o sistema
não tem solução. Isso prova que a afirmativa I (“Para algum
o sistema linear
não possui solução”) também é verdadeira.
Passo 4
Ambas as afirmativas I e II são verdadeiras, portanto a opção correta é a que diz “Todas são verdadeiras”.
Resposta
(D) Todas são verdadeiras.