Q3: Calcule det \left(\left[\begin{array}{rrrrr}0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & -4 & -6 & -3 & -5 \\\\ 1 & 4 & 4 & 6 & 5 \\\\ 1 & -2 & -2 & -4 & 0\end{array}\right]\right).
Dica: Calcule via escalonamento.
(A) 33
(B) 34
(C) 35
(D) 36
(E) 37
(F) 38
(G) 39
(H) 40

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 5\times5
A=\begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & -4 & -6 & -3 & -5 \\\\ 1 & 4 & 4 & 6 & 5 \\\\ 1 & -2 & -2 & -4 & 0 \end{pmatrix}.
Informações relevantes:
\text{Queremos } \det(A).
Dica do enunciado: calcular via escalonamento (ou seja, usando operações por linhas para levar a matriz a uma forma triangular e então multiplicar os elementos da diagonal, lembrando como cada operação afeta o determinante).

Passo 2

Relembrando as propriedades de determinante que usaremos (explicadas passo a passo):
  • Trocar duas linhas troca o sinal do determinante. Em fórmula: se B é obtida trocando-se duas linhas de A, então \det(B)=-\det(A).
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante. Em símbolo: se B é obtida de A por L_i\leftarrow L_i + kL_j (com i\neq j), então \det(B)=\det(A).
  • Multiplicar uma linha por escalar c multiplica o determinante por c. Evitaremos multiplicar linhas por escalares não-1 para não ter que rastrear fatores extras, pois somas de múltiplos são suficientes aqui.
Essas regras permitem fazer eliminação de Gauss controlando o efeito no determinante.

Passo 3

Primeira operação prática: escolher um pivô na coluna 1. Como a primeira linha começa com 0 e a segunda com 1, vamos trocar a linha 1 com a linha 2 ). Isso muda o sinal do determinante (uma troca de linhas).
Após a troca R_1\leftrightarrow R_2 obtemos:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 2 & -4 & -6 & -3 & -5 \\\\ 1 & 4 & 4 & 6 & 5 \\\\ 1 & -2 & -2 & -4 & 0 \end{pmatrix}.
Estado: uma troca de linhas foi feita, então até agora \det(\text{matriz atual})=-\det(A).

Passo 4

Eliminação na coluna 1 usando o pivô 1 em R_1. Aplicamos as operações (cada uma é do tipo L_i\leftarrow L_i - kL_1, que não altera o determinante):
  • R_3\leftarrow R_3 - 2R_1,
  • R_4\leftarrow R_4 - R_1,
  • R_5\leftarrow R_5 - R_1.
Calculemos linha a linha:
  • R_3: (2,-4,-6,-3,-5) - 2(1,1,1,1,1) = (0,-6,-8,-5,-7).
  • R_4: (1,4,4,6,5) - (1,1,1,1,1) = (0,3,3,5,4).
  • R_5: (1,-2,-2,-4,0) - (1,1,1,1,1) = (0,-3,-3,-5,-1).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 0 & -6 & -8 & -5 & -7 \\\\ 0 & 3 & 3 & 5 & 4 \\\\ 0 & -3 & -3 & -5 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Agora usamos o pivô em posição (2,2), que é 3 (entrada da segunda linha, segunda coluna). Eliminamos abaixo na coluna 2 com operações que não alteram o determinante:
  • Para zerar R_3 em coluna 2: R_3\leftarrow R_3 + 2R_2 (porque -6 + 2\cdot 3 = 0).
  • Para zerar R_4 em coluna 2: R_4\leftarrow R_4 - R_2 (porque 3-3=0).
  • Para zerar R_5 em coluna 2: R_5\leftarrow R_5 + R_2 (porque -3+3=0).
Calculemos:
  • R_3: (0,-6,-8,-5,-7) + 2(0,3,3,3,3) = (0,0,-2,1,-1).
  • R_4: (0,3,3,5,4) - (0,3,3,3,3) = (0,0,0,2,1).
  • R_5: (0,-3,-3,-5,-1) + (0,3,3,3,3) = (0,0,0,-2,2).
A matriz agora é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 0 & 0 & -2 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 6

Observamos que a matriz já está em forma quase triangular superior. O pivô em (3,3) é -2 e as entradas abaixo dele na coluna 3 já são zero, então passamos à coluna 4:
  • Para zerar a entrada R_5 na coluna 4 ( -2), fazemos R_5\leftarrow R_5 + R_4 (pois -2 + 2 = 0), operação que não altera o determinante.
Calculemos:
  • R_5: (0,0,0,-2,2) + (0,0,0,2,1) = (0,0,0,0,3).
Agora a matriz está em forma triangular superior:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 0 & 0 & -2 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 7

Para uma matriz triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Porém lembre-se que fizemos uma troca de linhas no início, que muda o sinal do determinante. Então:
  • Produto dos elementos da diagonal da matriz triangular: 1 \cdot 3 \cdot (-2) \cdot 2 \cdot 3.
    Calcule passo a passo:
1\cdot 3 = 3,\qquad 3\cdot(-2) = -6,\qquad -6\cdot 2 = -12,\qquad -12\cdot 3 = -36.
Logo o produto diagonal é -36.
  • Lembrando que uma troca de linhas foi feita (troca R_1\leftrightarrow R_2), o determinante da matriz original A é o negativo do produto diagonal:
\det(A) = -1 \times (-36) = 36.

Resposta

(D) 36

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