Dica do enunciado: calcular via escalonamento (ou seja, usando operações por linhas para levar a matriz a uma forma triangular e então multiplicar os elementos da diagonal, lembrando como cada operação afeta o determinante).
Passo 2
Relembrando as propriedades de determinante que usaremos (explicadas passo a passo):
Trocar duas linhas troca o sinal do determinante. Em fórmula: se B é obtida trocando-se duas linhas de A, então \det(B)=-\det(A).
Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante. Em símbolo: se B é obtida de A por L_i\leftarrow L_i + kL_j (com i\neq j), então \det(B)=\det(A).
Multiplicar uma linha por escalar c multiplica o determinante por c. Evitaremos multiplicar linhas por escalares não-1 para não ter que rastrear fatores extras, pois somas de múltiplos são suficientes aqui.
Essas regras permitem fazer eliminação de Gauss controlando o efeito no determinante.
Passo 3
Primeira operação prática: escolher um pivô na coluna 1. Como a primeira linha começa com 0 e a segunda com 1, vamos trocar a linha 1 com a linha 2). Isso muda o sinal do determinante (uma troca de linhas).
Após a troca R_1\leftrightarrow R_2 obtemos:
Agora usamos o pivô em posição (2,2), que é 3 (entrada da segunda linha, segunda coluna). Eliminamos abaixo na coluna 2 com operações que não alteram o determinante:
Para zerar R_3 em coluna 2: R_3\leftarrow R_3 + 2R_2 (porque -6 + 2\cdot 3 = 0).
Para zerar R_4 em coluna 2: R_4\leftarrow R_4 - R_2 (porque 3-3=0).
Para zerar R_5 em coluna 2: R_5\leftarrow R_5 + R_2 (porque -3+3=0).
Observamos que a matriz já está em forma quase triangular superior. O pivô em (3,3) é -2 e as entradas abaixo dele na coluna 3 já são zero, então passamos à coluna 4:
Para zerar a entrada R_5 na coluna 4 (-2), fazemos R_5\leftarrow R_5 + R_4 (pois -2 + 2 = 0), operação que não altera o determinante.
Para uma matriz triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Porém lembre-se que fizemos uma troca de linhas no início, que muda o sinal do determinante. Então:
Produto dos elementos da diagonal da matriz triangular: 1 \cdot 3 \cdot (-2) \cdot 2 \cdot 3.
Calcule passo a passo: