Q1: Considere A uma matriz cujas colunas são formadas pelos vetores \vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \vec{a}_{3} \in \mathbb{R}^{3}. Seja B uma matriz cujas colunas \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3} satisfazem: \vec{b}_{1}=5 \vec{a}_{1}+4 \vec{a}_{2}+7 \vec{a}_{3},
\vec{b}_{2}=5 \vec{a}_{1}+5 \vec{a}_{2}+7 \vec{a}_{3} \quad e \quad \vec{b}_{3}=4 \vec{a}_{1}+3 \vec{a}_{2}+4 \vec{a}_{3}.
Sabendo que \operatorname{det}(A)=-4, assinale o valor do \operatorname{det}(B) :
(A) 44
(B) 40
(C) 36
(D) 32
(E) 28
(F) 24
(G) 20
(H) 16

Passo 1

O enunciado dá as matrizes A e B em \mathbb{R}^{3\times3} cujas colunas são vetores relacionados por combinações lineares. Informações e o que é pedido:
  • As colunas de A são \vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\vec{a}_{3}.
  • As colunas de B são \vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3} e satisfazem \vec{b}_{1}=5\vec{a}_{1}+4\vec{a}_{2}+7\vec{a}_{3},
\vec{b}_{2}=5\vec{a}_{1}+5\vec{a}_{2}+7\vec{a}_{3},
\vec{b}_{3}=4\vec{a}_{1}+3\vec{a}_{2}+4\vec{a}_{3}.
(Estou usando exatamente as combinações dadas no enunciado.)
  • Sabemos que \det(A) = -4.
  • Pergunta: qual é \det(B)?

Passo 2

Interpretando as combinações: cada \vec{b}_{j} é uma combinação linear das colunas de A. Isso significa que existe uma matriz C (de coeficientes) tal que
B = A\,C.
Para ver isso de forma explícita, escrevemos as colunas de C como os vetores de coeficientes usados nas combinações:
\text{coluna }1\text{ de }C=\begin{pmatrix}5\\[2pt]4\\[2pt]7\end{pmatrix},\qquad \text{coluna }2\text{ de }C=\begin{pmatrix}5\\[2pt]5\\[2pt]7\end{pmatrix},\qquad \text{coluna }3\text{ de }C=\begin{pmatrix}4\\[2pt]3\\[2pt]4\end{pmatrix}.
Portanto escrevemos C como a matriz
C = \begin{pmatrix} 5 & 5 & 4\\[4pt] 4 & 5 & 3\\[4pt] 7 & 7 & 4 \end{pmatrix}.
Explicação curta: multiplicar A por essa matriz C combina as colunas de A com esses coeficientes, exatamente produzindo as colunas de B.]

Passo 3

Agora usamos uma propriedade importante dos determinantes: para matrizes quadradas A e C de mesma ordem vale
\det(A\,C)=\det(A)\det\text{(C)}.
Vou explicar por que essa propriedade é útil e confiável: determinante mede, entre outras coisas, o fator de escala do volume quando aplicamos a transformação linear associada à matriz. Aplicar C e depois A escala o volume por \det\text{(C)} e por \det(A), então o efeito combinado é o produto. Essa é uma propriedade padrão de determinantes que podemos usar sem calcular entradas de B coluna a coluna.
Como B=A\,C, temos
\det(B)=\det(A)\det\text{(C)}.
Sabemos \det(A)=-4, então basta calcular \det\text{(C)}.

Passo 4

Vamos calcular \det\text{(C)} de forma direta. Reescrevo C:
C = \begin{pmatrix} 5 & 5 & 4\\[4pt] 4 & 5 & 3\\[4pt] 7 & 7 & 4 \end{pmatrix}.
Vou expandir o determinante pela primeira linha (regra de Sarrus ou expansão por co-fatores; aqui uso expansão por co-fatores na primeira linha). A fórmula é
\det\text{(C)}=5\cdot M_{11}-5\cdot M_{12}+4\cdot M_{13},
onde M_{1j} é o determinante do menor obtido removendo linha 1 e coluna j.
Calculo cada menor:
  • Para M_{11} (removendo linha 1 e coluna 1) temos a matriz \begin{pmatrix}5 & 3\\[4pt]7 & 4\end{pmatrix}, então M_{11}=5\cdot4-3\cdot7=20-21=-1.
  • Para M_{12} (removendo linha 1 e coluna 2) temos \begin{pmatrix}4 & 3\\[4pt]7 & 4\end{pmatrix}, então M_{12}=4\cdot4-3\cdot7=16-21=-5.
  • Para M_{13} (removendo linha 1 e coluna 3) temos \begin{pmatrix}4 & 5\\[4pt]7 & 7\end{pmatrix}, então M_{13}=4\cdot7-5\cdot7=28-35=-7.
Agora substituo na expansão:
\det\text{(C)}=5\cdot(-1)-5\cdot(-5)+4\cdot(-7).
Faço as contas devagar: 5\cdot(-1)=-5. -5\cdot(-5)=+25. 4\cdot(-7)=-28. Somando:
\det\text{(C)}=-5+25-28 = -8.
Portanto \det\text{(C)} = -8.
Observação pedagógica rápida: outra forma teria sido usar operações elementares de linha para triangularizar C e multiplicar os pivôs; essas operações alteram o determinante de maneira conhecida (troca de linhas muda sinal, multiplicar linha por escala muda determinante), mas a expansão usada é direta e segura aqui.]

Passo 5

Voltando à relação \det(B)=\det(A)\det\text{(C)}, substituo os valores que já tenho:
\det(B)=(-4)\cdot(-8)=32.
Interpretação: tanto A quanto C tinham determinantes negativos, e o produto deu positivo 32.

Resposta

(D) 32

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