Q3: Calcule det \left(\left[\begin{array}{rrrrr}0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ -2 & -5 & -3 & -7 & -7 \\\\ 1 & 4 & 4 & 6 & 5 \\\\ 1 & -2 & -2 & -1 & -4\end{array}\right]\right).
Dica: Calcule via escalonamento.
(A) 28
(B) 29
(C) 30
(D) 31
(E) 32
(F) 33
(G) 34
(H) 35
(I) Não sei

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ -2 & -5 & -3 & -7 & -7 \\\\ 1 & 4 & 4 & 6 & 5 \\\\ 1 & -2 & -2 & -1 & -4 \end{pmatrix}
Vamos usar escalonamento com operações de linha:
  1. troca de linhas (multiplica o determinante por -1),
  2. soma de múltiplos de uma linha em outra (não altera o determinante),
  3. matriz triangular tem determinante igual ao produto dos elementos da diagonal.

Passo 2

Para ter um pivô não nulo na primeira coluna, trocamos R_1 e R_2:
\begin{array}{rcl} R_1 \leftrightarrow R_2 &\implies& \det \mapsto -\,\det\\\ R_1=(1,1,1,1,1),\quad R_2=(0,3,3,3,3). \end{array}

Passo 3

Eliminamos abaixo de R_1 (pivot 1 na coluna 1) usando somas de linhas:
\begin{split} R_3 &\leftarrow R_3 + 2\,R_1 = (0,\,-3,\,-1,\,-5,\,-5),\\\ R_4 &\leftarrow R_4 - R_1 = (0,\,3,\,3,\,5,\,4),\\\ R_5 &\leftarrow R_5 - R_1 = (0,\,-3,\,-3,\,-2,\,-5). \end{split}
Matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3\\\\ 0 & -3 & -1 & -5 & -5\\\\ 0 & 3 & 3 & 5 & 4\\\\ 0 & -3 & -3 & -2 & -5 \end{pmatrix}
e o determinante vale -1 vezes o determinante desta nova.

Passo 4

Usamos R_2 (pivot 3 em coluna 2) para zerar abaixo:
\begin{split} R_3 &\leftarrow R_3 + R_2 = (0,0,2,-2,-2),\\\ R_4 &\leftarrow R_4 - R_2 = (0,0,0,2,1),\\\ R_5 &\leftarrow R_5 + R_2 = (0,0,0,1,-2). \end{split}
Agora a submatriz das três últimas linhas é
\begin{pmatrix}2 & -2 & -2\\\ 0 & 2 & 1\\\ 0 & 1 & -2\end{pmatrix} nas colunas 3–5.

Passo 5

Para facilitar o pivô em coluna 4, trocamos R_4 e R_5:
R_4 \leftrightarrow R_5\quad\implies\quad \det\mapsto -\,\det,
anulando o efeito da primeira troca (pois -1)\times(-1)=1. A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3\\\\ 0 & 0 & 2 & -2 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 6

Com pivô 1 em R_4, coluna 4, zeramos abaixo:
R_5 \leftarrow R_5 - 2\,R_4 = (0,0,0,0,5).
Agora a matriz está triangular superior, com diagonal \{1,3,2,1,5\}. Como as duas trocas de linhas se anularam no sinal, o determinante é
\det(A) = 1\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 5 = 30.

Resposta

(C) 30

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