Q1: Considere A uma matriz cujas colunas são formadas pelos vetores \vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \vec{a}_{3} \in \mathbb{R}^{3}. Seja B uma matriz cujas colunas \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3} satisfazem: \vec{b}_{1}=4 \vec{a}_{1}+7 \vec{a}_{2}+2 \vec{a}_{3},
\vec{b}_{2}=4 \vec{a}_{1}+7 \vec{a}_{2}+4 \vec{a}_{3} e \quad \vec{b}_{3}=3 \vec{a}_{1}+5 \vec{a}_{2}+6 \vec{a}_{3}.
Sabendo que \operatorname{det}(A)=4, assinale o valor \operatorname{do} \operatorname{det}(B) :
(A) 4
(B) 8
(C) 12
(D) 16
(E) 20
(F) 24
(G) 28
(H) 32
(I) Não sei

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times3} cujas colunas são \vec a_{1},\vec a_{2},\vec a_{3}, e outra matriz B cujas colunas são
\vec b_{1}=4\vec a_{1}+7\vec a_{2}+2\vec a_{3},\quad \vec b_{2}=4\vec a_{1}+7\vec a_{2}+4\vec a_{3},\quad \vec b_{3}=3\vec a_{1}+5\vec a_{2}+6\vec a_{3}.
Sabemos que \det(A)=4 e queremos \det(B). O conteúdo principal aqui é a propriedade de determinante de produto de matrizes.

Passo 2

Note que cada coluna \vec b_{j} de B pode ser escrita como A vezes um vetor de coeficientes. Ou seja, existe uma matriz M tal que
B = A\,M.
Então vale a fórmula
\det(B) = \det(A)\,\det(M).

Passo 3

Para montar M, basta colocar os coeficientes que formam \vec b_{1},\vec b_{2},\vec b_{3} como colunas:
M = \begin{pmatrix} 4 & 4 & 3\\\\ 7 & 7 & 5\\\\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}.

Passo 4

Vamos calcular \det(M) por expansão de co-fatores na primeira linha:
\det(M) =4\begin{vmatrix}7&5\\\ 4&6\end{vmatrix} -4\begin{vmatrix}7&5\\\ 2&6\end{vmatrix} +3\begin{vmatrix}7&7\\\ 2&4\end{vmatrix}.
Cada menor vale
\begin{vmatrix}7&5\\\ 4&6\end{vmatrix}=7\cdot6-5\cdot4=22,\quad \begin{vmatrix}7&5\\\ 2&6\end{vmatrix}=7\cdot6-5\cdot2=32,
\begin{vmatrix}7&7\\\ 2&4\end{vmatrix}=7\cdot4-7\cdot2=14.
Substituindo,
\det(M)=4\cdot22-4\cdot32+3\cdot14=88-128+42=2.

Passo 5

Finalmente,
\det(B)=\det(A)\,\det(M)=4\cdot2=8.

Resposta

8

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