Q7: Considere as afirmativas abaixo:
I - Sejam
(\lambda) um autovalor da matriz A e H o respectivo autoespaço. Então pode-se afirmar que \lambda^{2} é autovalor de A^{2} e que H é o autoespaço associado.
II - Se A=P B P^{-1} com P inversível, então A e B têm o mesmo polinômio característico.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado pede para avaliar duas afirmações sobre autovalores, autoespaços e semelhança de matrizes. O conteúdo envolve:
– Propriedade de que, se A v = \lambda v, então A^2 v = \lambda^2 v e relação entre os autoespaços de A e de A^2.
– Invariância do polinômio característico sob semelhança, i.e.\ se A = P B P^{-1} com P inversível, mostrar que \chi_A(\lambda) = \chi_B(\lambda).

Passo 2

Analisando a afirmativa I: seja \lambda autovalor de A e
H = \ker(A - \lambda I)
o seu autoespaço. Para todo v\in H temos Av=\lambda v, logo
A^2v = A(\lambda v) = \lambda^2 v,
de modo que
H \subseteq \ker\bigl(A^2 - \lambda^2 I\bigr),
ou seja, H é um subespaço de auto
despaços de A^2 para \lambda^2. Mas em geral esse espaço próprio de A^2 pode ser maior que H. Por exemplo, se A tiver também autovalor -\lambda, ou no caso \lambda=0 com A nilpotente de índice 2, então
\ker(A)\subsetneq\ker(A^2). Portanto não é verdade que H seja todo o autoespaço de A^2 associado a \lambda^2.

Passo 3

Concluímos que a afirmativa I é falsa, pois ela exige igualdade dos autoespaços, e na prática só temos inclusão.

Passo 4

Analisando a afirmativa II: seja A=PBP^{-1} com P inversível. O polinômio característico de A é
\chi_A(\lambda) = \det(\lambda I - A) = \det\bigl(\lambda I - PBP^{-1}\bigr) = \det\bigl(P(\lambda I - B)P^{-1}\bigr) = \det(P)\,\det(\lambda I - B)\,\det(P^{-1}) = \det(\lambda I - B) = \chi_B(\lambda).
Logo A e B têm exatamente o mesmo polinômio característico.

Passo 5

Da análise acima vemos que apenas a afirmativa II é verdadeira.

Resposta

(C)

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