Q7: Considere as afirmativas abaixo:
I - Sejam
(\lambda) um autovalor da matriz
e
o respectivo autoespaço. Então pode-se afirmar que
é autovalor de
e que
é o autoespaço associado.
II - Se
com
inversível, então
e
têm o mesmo polinômio característico.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I - Sejam
(\lambda) um autovalor da matriz
II - Se
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado pede para avaliar duas afirmações sobre autovalores, autoespaços e semelhança de matrizes. O conteúdo envolve:
– Propriedade de que, se , então
e relação entre os autoespaços de
e de
.
– Invariância do polinômio característico sob semelhança, i.e.\ se com
inversível, mostrar que
.
– Propriedade de que, se
– Invariância do polinômio característico sob semelhança, i.e.\ se
Passo 2
Analisando a afirmativa I: seja
autovalor de
e
o seu autoespaço. Para todo
temos
, logo
de modo que
ou seja,
é um subespaço de auto
despaços de para
. Mas em geral esse espaço próprio de
pode ser maior que
. Por exemplo, se
tiver também autovalor
, ou no caso
com
nilpotente de índice
, então
. Portanto não é verdade que
seja todo o autoespaço de
associado a
.
despaços de
Passo 3
Concluímos que a afirmativa I é falsa, pois ela exige igualdade dos autoespaços, e na prática só temos inclusão.
Passo 4
Analisando a afirmativa II: seja
com
inversível. O polinômio característico de
é
Logo
e
têm exatamente o mesmo polinômio característico.
Passo 5
Da análise acima vemos que apenas a afirmativa II é verdadeira.
Resposta
(C)