Q6: Sabemos que existe P inversível tal que:
\left[\begin{array}{rrr}-8 & 6 & -6 \\\\ -7 & 5 & -6 \\\\ 3 & -2 & 3\end{array}\right]=P\left[\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 0 \\\\ 0 & a & 0 \\\\ 0 & 0 & b\end{array}\right] P^{-1} \quad com \quad a<b.
A 3^{\mathrm{a}} coluna da matriz P é múltipla de:
(A) \left[\begin{array}{r}4 \\\ \star \\\\ -3\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}4 \\\ \star \\\\ -2\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}4 \\\ \star \\\\ -1\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{l}4 \\\ \star \\\\ 0\end{array}\right]
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá a matriz
M = \begin{pmatrix} -8 & 6 & -6\\\\ -7 & 5 & -6\\\\ 3 & -2 & 3 \end{pmatrix}
e afirma que existe inversível P tal que
M = P \begin{pmatrix}-1&0&0\\\ 0&a&0\\\ 0&0&b\end{pmatrix}P^{-1},
com a<b. Isso significa que -1,a,b são os autovalores de M e que a 3ª coluna de P é um autovetor associado a b. Para resolver vamos (1) achar todos os autovalores de M, (2) identificar qual é b e (3) calcular um autovetor para esse valor.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico
\det\bigl(M - \lambda I\bigr) =\det \begin{pmatrix} -8-\lambda & 6 & -6\\\\ -7 & 5-\lambda & -6\\\\ 3 & -2 & 3-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo, chega-se a
-\lambda(\lambda^2-1)= -\lambda(\lambda-1)(\lambda+1),
logo os autovalores são
\lambda = -1,\quad \lambda=0,\quad \lambda=1.

Passo 3

Como o enunciado coloca na diagonal \bigl(-1,a,b\bigr) com a<b, e sabemos que os valores são -1,0,1, segue que
a=0,\quad b=1.
Portanto a 3ª coluna de P é um autovetor de M associado a \lambda=1.

Passo 4

Para achar o autovetor de \lambda=1 resolvemos
(M - I)x = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} -9 & 6 & -6\\\\ -7 & 4 & -6\\\\ 3 & -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Das duas equações independentes obtemos
3x - 2y + 2z = 0, \quad -7x +4y -6z = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; y = -2z,\;x = -2z.
Logo o espaço próprio é gerado por
\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = t\,\begin{pmatrix}-2\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Podemos escolher t=-2 para ficar com entradas positivas no primeiro componente, dando
t=-2\;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}-2\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}4\\\ 4\\\ -2\end{pmatrix}.
Entre as alternativas, a que tem formato \bigl[4,\star,-2\bigr]^{T} é a (B).

Resposta

(B)

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