Q15: Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação
T(x, y, z)=\left(5 x-9 y+2 z, \frac{y}{6}-8 z, z\right),
e seja Q \subset \mathbb{R}^{3} um paralelepípedo com volume 3. O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) pode ser maior ou menor do que o Q
(B) é igual ao volume de Q.
(C) é maior do que o volume de Q.
(E) Nào sei

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z)=(5x-9y+2z,\;\tfrac{y}{6}-8z,\;z)
e um paralelepípedo Q\subset\mathbb{R}^3 de volume 3.
Para qualquer transformação linear o volume de T(Q) é dado por
\mathrm{vol}\bigl(T(Q)\bigr)=\bigl|\det(T)\bigr|\;\mathrm{vol}(Q).

Passo 2

Escrevemos a matriz de T na base canônica. Como
T(x,y,z)= \begin{pmatrix} 5 & -9 & 2\\\\ 0 & \tfrac16 & -8\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},
essa matriz é triangular superior.

Passo 3

O determinante de uma matriz triangular é o produto das entradas da diagonal, logo
\det(T)=5\cdot\tfrac16\cdot1=\tfrac{5}{6}.

Passo 4

Portanto o volume transformado é
\mathrm{vol}\bigl(T(Q)\bigr) =\bigl|\tfrac{5}{6}\bigr|\times 3 =\tfrac{5}{2} \;<\;3.
Como \tfrac{5}{6}<1, o paralelepípedo sempre encolhe de volume.

Resposta

O volume de T(Q) é menor que o volume de Q; mais precisamente \mathrm{vol}(T(Q))=\tfrac{5}{2}.

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