Calcule:
\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} \mathrm{i}\right)^{21}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência da seguinte expressão complexa:
\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\,\mathrm{i}\right)^{21}.
Informações dadas:
z=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\,\mathrm{i}.
A tarefa é encontrar z^{21}.

Passo 2

Vamos transformar z em forma trigonométrica (ou exponencial) — isso facilita potências. Primeiro calculo o módulo de z:
|z|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(-\frac{1}{2}\right)^2}= \sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{1}=1.
Explicando: o módulo é a “distância” do número complexo à origem e se calcula pela raiz quadrada da soma dos quadrados das partes real e imaginária.

Passo 3

Agora encontro o argumento (ângulo) \theta tal que
\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\theta=-\frac{1}{2}.
Esses valores correspondem a \theta=-\frac{\pi}{6} (ou, equivalente, \theta=\frac{11\pi}{6}). Vou usar o ângulo principal \theta=-\frac{\pi}{6}. Então escrevo z na forma trigonométrica:
z=\cos\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)+\mathrm{i}\sin\!\left(-\frac{\pi}{6}\right).
Como |z|=1, também posso escrever
z=\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\left(-\frac{\pi}{6}\right)}=\mathrm{e}^{-\,\mathrm{i}\pi/6}.
Breve explicação: \cos e \sin definem a direção do número complexo no círculo unitário; a forma exponencial \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} é equivalente a \cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta.

Passo 4

Uso agora a fórmula de De Moivre (ou a propriedade dos expoentes na forma exponencial):
\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\right)^n=\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta},
ou equivalentemente
\left(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta\right)^n=\cos(n\theta)+\mathrm{i}\sin(n\theta).
Isso diz que, para potências, multiplicamos o argumento por n e elevamos o módulo (aqui o módulo é 1, então permanece 1).

Passo 5

Aplico a propriedade com n=21:
z^{21}=\left(\mathrm{e}^{-\,\mathrm{i}\pi/6}\right)^{21}=\mathrm{e}^{-\,\mathrm{i}\,(21\pi/6)}=\mathrm{e}^{-\,\mathrm{i}\,7\pi/2}.
Observe que simplifiquei 21\pi/6 para 7\pi/2.

Passo 6

Agora reduzo o ângulo módulo 2\pi (porque adicionar 2\pi k não muda a posição no círculo):
-\,\frac{7\pi}{2}+4\pi=-\,\frac{7\pi}{2}+\frac{8\pi}{2}=\frac{\pi}{2}.
Expliquei: somei 4\pi (que é 2\cdot 2\pi) para obter um ângulo equivalente no intervalo (-\pi,\pi] ou [0,2\pi). Logo
\mathrm{e}^{-\,\mathrm{i}\,7\pi/2}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\pi/2}.

Passo 7

Converto de volta para cosseno e seno:
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/2}=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)+\mathrm{i}\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0+\mathrm{i}\cdot 1=\mathrm{i}.
Portanto o valor da potência é \mathrm{i}.

Resposta

\mathrm{i}

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